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ra8c7b37 r6d1c7aa 1 #LyX 1. 5.3created this file. For more info see http://www.lyx.org/2 \lyxformat 2761 #LyX 1.6.5 created this file. 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\begin_inset CommandInset ref 180 LatexCommand ref 170 181 reference "sub:ArmaBlock_Antecedentes" 171 182 … … 189 200 es la matriz de covarianzas, usualmente será o bien una matriz diagonal 190 201 o bien la matriz de autocovarianzas de un proceso ARMA (ver 191 \begin_inset LatexCommand ref 202 \begin_inset CommandInset ref 203 LatexCommand ref 192 204 reference "sub:ArmaBlock_Antecedentes" 193 205 … … 409 421 410 422 \begin_layout Standard 411 Si fijamos ahora todos los componentes de 423 Para el filtro no lineal del output el proceso de simulación es prácticamente 424 el mismo: si se conocen todos los vectores de parámetros no lineales salvo 425 el del output 426 \begin_inset Formula $\tau_{0}$ 427 \end_inset 428 429 se obtiene 430 \begin_inset Formula \begin{equation} 431 \begin{array}{c} 432 \varepsilon=L^{-1}\cdot\triangle\cdot\left(Z_{0}-f_{0}\left(\tau_{0}\right)\right)\\ 433 Z_{0}=X\cdot\beta+{\displaystyle \sum_{\begin{array}{c} 434 r=1\end{array}}^{R}F_{r}\cdot\alpha_{r}}\\ 435 \varepsilon=L^{-1}\cdot a\sim N\left(0,I_{m}\right)\end{array}\label{eq:non-lin-filter-output}\end{equation} 436 437 \end_inset 438 439 440 \end_layout 441 442 \begin_layout Subsection 443 Simulación con métodos escalares 444 \end_layout 445 446 \begin_layout Standard 447 Nos referiremos sólo al caso del input pues el del output es igual. 448 Si fijamos ahora todos los componentes de 412 449 \begin_inset Formula $\tau_{k}=\left(\tau_{k,1},\ldots,\tau_{k,R_{k}}\right)$ 413 450 \end_inset … … 417 454 \end_inset 418 455 419 entonces es posible aplicar el método ARMS si se dispone de un método que420 permita construir el dominio de456 entonces es posible aplicar algún método escalar, como el ARMS o el SLICE, 457 si se dispone de un método que permita construir el dominio de 421 458 \begin_inset Formula $\tau_{k,i}$ 422 459 \end_inset … … 493 530 494 531 495 \end_layout496 497 \begin_layout Standard498 Para el filtro no lineal del output el proceso de simulación es prácticamente499 el mismo: si se conocen todos los vectores de parámetros no lineales salvo500 el del output501 \begin_inset Formula $\tau_{0}$502 \end_inset503 504 del input y los505 \begin_inset Formula $\alpha,\beta,\Sigma$506 \end_inset507 508 y una descomposición simétrica509 \begin_inset Formula $\Sigma=L\cdot L^{T}$510 \end_inset511 512 entonces, premultiplicando por513 \begin_inset Formula $L^{-1}$514 \end_inset515 516 y llevando todo al lado derecho, salvo los residuos cuya distribución es517 conocida, se tiene la siguiente igualdad518 \begin_inset Formula \begin{equation}519 \begin{array}{c}520 \varepsilon=L^{-1}\cdot\triangle\cdot\left(Z_{0}-f_{0}\left(\tau_{0}\right)\right)\\521 Z_{0}=X\cdot\beta+{\displaystyle \sum_{\begin{array}{c}522 r=1\end{array}}^{R}F_{r}\cdot\alpha_{r}}\\523 \varepsilon=L^{-1}\cdot a\sim N\left(0,I_{m}\right)\end{array}\label{eq:non-lin-filter-output}\end{equation}524 525 \end_inset526 527 528 \end_layout529 530 \begin_layout Standard531 A partir de ahà es exactamente igual que con el input por lo que no se explicita532 n las fórmulas.533 532 \end_layout 534 533 … … 546 545 \end_layout 547 546 547 \begin_layout Subsection 548 Simulación con métodos vectoriales 549 \end_layout 550 551 \begin_layout Standard 552 Los métodos escalares funcionan muy bien si hay unos pocos parámetros y 553 no están muy correlacionados pero en otro caso se vuelven muy ineficaces 554 en cada iteración y además hay que desechar muchas de ellas. 555 \end_layout 556 557 \begin_layout Standard 558 El método de Gibbs o es planteable en esta situación pero sà podrÃa utilizarse 559 un Metrópolis-Hastings o mejor aún su variate Multiple-Try. 560 La forma más sencilla de aplicación de este método es utilizar un generador 561 simétrico de tipo paseo aleatorio que cree el candidato para la 562 \begin_inset Formula $\left(s+1\right)$ 563 \end_inset 564 565 -ésima simulación cerca del valor aceptado en la anterior. 566 567 \begin_inset Formula \begin{equation} 568 \begin{array}{c} 569 \dot{\tau}_{k,i}^{(s+1)}\sim N\left(\tau_{k,i}^{(s)},\lambda_{s}\sigma_{\tau_{k,i}}^{2}\right)\end{array}\end{equation} 570 571 \end_inset 572 573 574 \end_layout 575 576 \begin_layout Standard 577 Si se dispone de información a priori sobre la esviación del parámetro lo 578 mejor es usar dicho valor como base del factor de escala. 579 En cualquier caso el método puede ir modificando la escala 580 \begin_inset Formula $\lambda_{s}$ 581 \end_inset 582 583 en cada simulación para obtener un ratio de aceptación razonable. 584 \end_layout 585 586 \begin_layout Standard 587 Con este método se reducirá drásticamente el número de evaluaciones de la 588 verosimilitud y además n oes necesario conocer los intervalos de factibilidad 589 de cada parámetro condicionado al resto: basta con un método que indique 590 si un vector conjunto de parámetros es factible. 591 \end_layout 592 548 593 \begin_layout Section 549 594 Casos particulares … … 551 596 552 597 \begin_layout Subsection 553 \begin_inset LatexCommand label 598 \begin_inset CommandInset label 599 LatexCommand label 554 600 name "sub:Función-de-transferencia-no-lineal-deltas" 555 601 … … 560 606 561 607 \begin_layout Standard 562 Sea el modelo de series temporales con función de transferencia no lineal 563 \end_layout 564 565 \begin_layout Standard 566 \begin_inset Formula \begin{equation} 567 \begin{array}{c} 568 y_{t}=\frac{\omega\left(B\right)}{\delta\left(B\right)}x_{t}+a_{t}\\ 569 a\sim N\left(0,\Sigma\right)\\ 570 t=1\ldots m\end{array}\end{equation} 608 Sea el bloque de función de transferencia no lineal 609 \end_layout 610 611 \begin_layout Standard 612 \begin_inset Formula \begin{equation} 613 \begin{array}{c} 614 z_{t}=\frac{\omega\left(B\right)}{\delta\left(B\right)}x_{t}\forall t=1\ldots m\end{array}\end{equation} 571 615 572 616 \end_inset … … 589 633 estacionario, es decir, tal que sus raÃces están todas fuera del cÃrculo 590 634 unidad. 591 \end_layout 592 593 \begin_layout Standard 594 Esto es expresable dentro de la clase de modelos descritos anteriormente 595 596 \begin_inset Formula \begin{equation} 597 \begin{array}{c} 598 Y=f\left(\delta,z^{0},x^{0}\right)\cdot\omega+a\\ 599 a\sim N\left(0,\Sigma\right)\\ 600 Y,a\in\mathbb{R}^{m}\\ 601 F=f\left(\delta,z^{0},x^{0}\right)\in\mathbb{R}^{m\times h}\end{array}\end{equation} 602 603 \end_inset 604 605 donde la función de filtro no lineal se forma a partir del resultado de 606 la ecuación en diferencias 607 \begin_inset Formula \begin{equation} 608 \begin{array}{c} 609 z_{t}={\displaystyle \sum_{j=1}^{d}\delta_{j}z_{t-j}}+x_{t}\\ 610 F_{t,i}=z_{t-i}\forall i=1\ldots h\end{array}\end{equation} 611 612 \end_inset 613 614 615 \end_layout 616 617 \begin_layout Standard 618 Los valores inciales 635 Los valores inciales 619 636 \begin_inset Formula $x^{0}=\left(x_{1-h},\ldots,x_{0}\right)$ 620 637 \end_inset … … 631 648 632 649 se deberÃan adjuntar con estos valores iniciales. 650 En ambos casos deben ir acompañados de informaciñon a priori pues pueden 651 dar luga a colinealidades si se dejan libres. 633 652 Los valores iniciales 634 \begin_inset Formula $z^{0}=\left(z_{1-k},\ldots,z_{0}\right)$ 635 \end_inset 636 637 , con 638 \begin_inset Formula $k=\max\left(h,d\right)$ 639 \end_inset 640 641 , son siempre desconocidos y deben ser simulados. 642 Lo más sencillo serÃa considerarlos todos ellos variables auxiliares no 643 lineales sin más y que sea el propio método ARMS el que los simule. 644 Para todos estos parámetros el dominio es siempre la recta real, aunque 645 es recomendable dar un intervalo lo más acotado que sea posible con la 646 información de que se disponga, asà como se debe tener en cuenta la información 647 a priori sobre los mismos. 653 \begin_inset Formula $z^{0}=\left(z_{1-q},\ldots,z_{0}\right)$ 654 \end_inset 655 656 son siempre desconocidos y deben ser simulados. 657 Los parámetros del filtro no lineal serán 658 \begin_inset Formula $\tau=\left(\delta,z^{0},x^{0}\right)$ 659 \end_inset 660 661 mientras que los 662 \begin_inset Formula $\omega$ 663 \end_inset 664 665 pertenecerán al bloque lineal del modelo en el que se introduce el filtro. 666 \end_layout 667 668 \begin_layout Standard 669 Esto es expresable dentro de la clase de modelos descritos anteriormente 670 mediante la función de filtro no lineal sin más que establecer las series 671 de input lineales 672 \end_layout 673 674 \begin_layout Standard 675 \begin_inset Formula \begin{equation} 676 \begin{array}{c} 677 z_{t}={\displaystyle \sum_{i=0}^{h}\omega_{i}F_{t,i}}\end{array}\end{equation} 678 679 \end_inset 680 681 682 \begin_inset Formula \begin{equation} 683 \begin{array}{c} 684 F_{t,i}=y_{t-i}\forall i=1\ldots h\end{array}\end{equation} 685 686 \end_inset 687 688 donde la serie auxiliar 689 \begin_inset Formula $y_{t}$ 690 \end_inset 691 692 cumple simultáneamente las ecuaciones en diferencias 693 \begin_inset Formula \begin{equation} 694 \begin{array}{c} 695 z_{t}=\omega\left(B\right)y_{t}\\ 696 x_{t}=\delta\left(B\right)y_{t}\end{array}\end{equation} 697 698 \end_inset 699 700 701 \end_layout 702 703 \begin_layout Standard 704 En cuanto a los valores iniciales de la varible auxiliar 705 \begin_inset Formula $y^{0}=\left(y_{1-k},\ldots,y_{0}\right)$ 706 \end_inset 707 708 , aunque sólo se necesitan los 709 \begin_inset Formula $\max\left(h,d\right)$ 710 \end_inset 711 712 utilizados realmente en las fórmulas, se pueden calcular de forma determinista 713 hasta 714 \begin_inset Formula $k=h+d$ 715 \end_inset 716 717 de ellos, a partir de las 718 \begin_inset Formula $h+d$ 719 \end_inset 720 721 igualdades lineales en las que se conocen los valores de 722 \begin_inset Formula $\left(x^{0},z^{0},\omega,\delta\right)$ 723 \end_inset 724 725 y los 726 \begin_inset Formula $y_{t}\forall t=1\ldots m$ 727 \end_inset 728 729 en la simulación anterior, lo cual es lÃcito en una cadena de Markov 730 \end_layout 731 732 \begin_layout Standard 733 \begin_inset Formula \begin{equation} 734 \begin{array}{c} 735 y_{t}-{\displaystyle \sum_{j=1}^{d}\delta_{j}y_{t-j}}=x_{t}\forall t=1-h\cdots0\\ 736 {\displaystyle \sum_{i=0}^{h}\omega_{i}y_{t-i}}=z_{t}\forall t=1-d\cdots0\end{array}\end{equation} 737 738 \end_inset 739 740 648 741 \end_layout 649 742 … … 654 747 655 748 rigen las mismas condiciones de estacionariedad descritas en 656 \begin_inset LatexCommand vref 749 \begin_inset CommandInset ref 750 LatexCommand vref 657 751 reference "sub:Dominio-de-estacionariedad" 658 752 659 753 \end_inset 660 754 661 para los parámetros AR y MA por lo que es necesario imponer la misma restricció 662 n sobre el grado que no puede ser mayor que 2. 755 para los parámetros AR y MA por lo que, en el caso de estimación escalar, 756 es necesario imponer la misma restricción sobre el grado que no puede ser 757 mayor que 2. 663 758 Si fuera preciso usar un grado mayor habrÃa que factorizar 664 759 \begin_inset Formula $\delta\left(B\right)$ … … 666 761 667 762 de forma similar a la allà descrita, sin ninguna pérdida de generalidad. 763 \end_layout 764 765 \begin_layout Subsection 766 \begin_inset CommandInset label 767 LatexCommand label 768 name "sub:Función-de-transferencia-no-lineal-con-ganancia-unitaria" 769 770 \end_inset 771 772 Función de transferencia no lineal con ganancia unitaria 773 \end_layout 774 775 \begin_layout Standard 776 Una variante del anterior filtro no lineal es la versión de ganancia unitaria 777 \begin_inset Formula \begin{equation} 778 \begin{array}{c} 779 z_{t}=\frac{\delta\left(1\right)\omega\left(B\right)}{\delta\left(B\right)}x_{t}\end{array}\end{equation} 780 781 \end_inset 782 783 con la que pretende que el denominador no influya en el nivel del efecto. 784 La utilidad de esta variante es que el analista puede interpretar mejor 785 los valores de los 786 \begin_inset Formula $\omega$ 787 \end_inset 788 789 y es posible establecer relaciones jerárquicas o información a priori independi 790 ente de los 791 \begin_inset Formula $\delta$ 792 \end_inset 793 794 concretos. 795 \end_layout 796 797 \begin_layout Standard 798 Evidentemente se trata tan solo de un cambio de escala sobre los 799 \begin_inset Formula $\omega$ 800 \end_inset 801 802 por lo que el método de simulación serÃa el mismo sin más que aplicarlo 803 a 804 \begin_inset Formula \begin{equation} 805 \begin{array}{c} 806 z_{t}=\frac{\omega\left(B\right)}{\delta\left(B\right)}u_{t}\\ 807 u_{t}=\delta\left(1\right)x_{t}\end{array}\end{equation} 808 809 \end_inset 810 811 668 812 \end_layout 669 813 … … 685 829 \begin_inset Formula \begin{equation} 686 830 \begin{array}{c} 687 Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)=X^{\beta}\cdot\beta+a\\ 688 a\sim N\left(0,\Sigma\right)\end{array}\end{equation} 831 Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)=X^{\beta}\cdot\beta\end{array}\end{equation} 689 832 690 833 \end_inset … … 700 843 \begin_inset Formula \begin{equation} 701 844 \begin{array}{c} 702 Log\left(Y\right)-Log\left(Y\right)+Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)=X^{\beta}\cdot\beta +a\\703 Log\left(Y\right)=Log\left(Y\right)-Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)+X^{\beta}\cdot\beta +a\end{array}\end{equation}845 Log\left(Y\right)-Log\left(Y\right)+Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)=X^{\beta}\cdot\beta\\ 846 Log\left(Y\right)=Log\left(Y\right)-Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)+X^{\beta}\cdot\beta\end{array}\end{equation} 704 847 705 848 \end_inset
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