Generación de candidatos en un politopo

Si tenemos que generar muestras que cumplan una serie de restricciones de desigualdad lineal

[[LatexEquation( A x \ge a \wedge x\in\mathbb{R}^{{n} \wedge a\in\mathbb{R}}{r} \wedge A\in\mathbb{R}^{{r\times n} )]}

caben dos posibilidades, utilizar un generador de candidatos que cumpla las restricciones por construcción o usar uno libre y luego rechazar los candidatos no factibles. La ventaja de este último es que puede ser simétrico y evita el cálculo de la verosimilitud del candidato pero el problema es que puede ser que tarde mucho en encontrar uno factible si el punto actual está demasiado cerca de la frontera, lo cual será muy habitual si el punto de máxima verosimilitud se encuentra fuera del politopo definido por las anteriores inecuaciones.

En la siguiente figura se observa un caso en el que el punto máximo verosímil sin restricciones (en verde) se encuentra fuera del politopo (en gris), por lo que el punto máximo-verosimil restringido (en rojo) se encuentra en la frontera del politopo. La cadena tenderá a estar cerca de ese punto y por tanto cerca de la frontera. Es evidente que cualquier entorno de generación simétrica de candidatos (en rosa), tendrá como máximo la mitad de área en la zona factible, lo cual es perfectamente asumible.

Pero ¿qué pasaría si no estuviera en la frontera por inclumplir sólo una de las restricciones sino que incumpliera varias al mismo tiempo? Pues que la probabilidad de generar un punto factible decrecería exponencialmente y eso no es asumible a nada que se tengan 3 ó mas restricciones incumplidas.