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Timestamp:

Jan 7, 2011, 11:57:16 AM (15 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerPostProccess

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 y diremos que hay [[LatexEquation( k+1 )]] vecinos distintos en cada entorno.
 
-Sea la distancia euclídea del punto [[LatexEquation( x_{i} )]] a su [[LatexEquation( k )]]-ésimo vecino más próximo
-
-  [[LatexEquation( r_{i,k}=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{n}{\sum}}\left(y_{i,k,d}-x_{i,d}\right)^{2}} )]]
-  
-En cada punto muestral definiremos pues el entorno local como la hiperesfera de radio [[LatexEquation( r_{i,k} )]] y centro [[LatexEquation( x_{i} )]]
-
-  [[LatexEquation( \Omega_{i}=\left\{ y\in\mathbb{R}^{n}\left|\left\Vert y-x_{i}\right\Vert ^{2}\leq r_{i,k}\right.\right\}  )]]
+Sea la distancia euclídea del punto [[LatexEquation( x_{i} )]] a su [[LatexEquation( j )]]-ésimo vecino más próximo
+
+  [[LatexEquation( r_{i,j}=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{n}{\sum}}\left(y_{i,j,d}-x_{i,d}\right)^{2}} )]]
+
+Para no favorecer sesgos tomaremos la distancia intermedia entre el [[LatexEquation( k )]]-ésimo y el [[LatexEquation( (k+1) )]]-ésimo vecino como radio del entorno
+  
+  [[LatexEquation( r_{i}=\frac{1}{2}\left(r_{i,k}+r_{i,k+1}\right) )]]
+
+de forma que todo los puntos sean extrictamente interiores al mismo
+
+En cada punto muestral definiremos pues el entorno local como la hiperesfera de radio [[LatexEquation( r_{i} )]] y centro [[LatexEquation( x_{i} )]]
+
+  [[LatexEquation( \Omega_{i}=\left\{ y\in\mathbb{R}^{n}\left|\left\Vert y-x_{i}\right\Vert ^{2}\leq r_{i}\right.\right\}  )]]
 
 Se trata de ver qué entornos están hipermuestreados y cuáles están inframuestreados, para lo cual deberemos estudiar la distribución de probabilidad del tamaño muestral incluido dentro de cada uno.
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 La anterior integral sería algo muy costoso de evaluar así que hay que aproximarla por el método de Montecarlo, como el producto del volumen de la hiperesfera
 
-  [[LatexEquation( V\left(\Omega_{i}\right)=\lambda_{0}r_{i,k}^{n}\;\wedge\lambda_{0}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} )]]
+  [[LatexEquation( V\left(\Omega_{i}\right)=\lambda_{0}r_{i}^{n}\;\wedge\lambda_{0}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} )]]
 
 por la media de las verosimilitudes en una selección de puntos del entorno
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 Para ello generaremos [[LatexEquation( N )]] puntos con distribución uniforme en la hiperesfera
 
-  [[LatexEquation( \left\Vert z_{i,j}-x_{i}\right\Vert ^{2}\leq r_{i,k} \wedge j=1 \dots N )]]
+  [[LatexEquation( \left\Vert z_{i,j}-x_{i}\right\Vert ^{2}\leq r_{i} \wedge j=1 \dots N )]]
 
 y calculamos la aproximación del logaritmo de la verosimilitud en cada uno de ellos mediante la fórmula de ponderación de Sheppard
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 en la que llamaremos constante de integración a [[LatexEquation( \mu_{0} )]], que es un valor desconocido a estimar. La parte conocida [[LatexEquation( \nu_{i} )]] es el logaritmo de la media de las verosimilitudes interpoladas más el logaritmo del volumen salvo la constante [[LatexEquation(\lambda_0)]] que aunque es conocida es irrelevante. De hecho es conveniente sumarle a [[LatexEquation( \nu_{i} )]] otra constante [[LatexEquation(\lambda_2)]] que obligue a que su máximo sea 0 y evitar así problemas numéricos con las exponenciales
 
-  [[LatexEquation( \nu_{i}=\lambda_2 + \ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i,k} )]]
+  [[LatexEquation( \nu_{i}=\lambda_2 + \ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i} )]]
 
 Es decir, hay que tomar
 
-  [[LatexEquation( \lambda_{2}=-\underset{i=S'}{\max}\left\{ \ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i,k}\right\} )]]
+  [[LatexEquation( \lambda_{2}=-\underset{i=S'}{\max}\left\{ \ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i}\right\} )]]
  
 para que resulte