Changes between Version 29 and Version 30 of OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerPostProccess

Timestamp:

Jan 6, 2011, 7:42:06 PM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerPostProccess

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 = Post-procesado de cadenas de Markov = 
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-== Introducción == 
 
 Los métodos tradicionales de post-procesado de cadenas de simulación, basados en técnicas como ''burn-in'' y ''thinning'', son demasiado arbitrarios para poder parametrizarlos de forma automática sin intervención del usuario. Además no solucionan uno de los principales problemas de los métodos ''accept-reject'' con generadores de candidatos sobre paseos aleatorios, que es la alternacia de fases con exceso de repeticiones por usar un tamaño de paso demasiado grande, con otras fases en las que, por todo lo contrario, se avanza poco en cada iteración.
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 El método propuesto comenzará por utilizar el algoritmo [http://es.wikipedia.org/wiki/Knn KNN] que está disponible dentro del paquete TOL MatQuery, para encontrar los vecinos más próximos de cada punto de la muestra de tamaño [[LatexEquation( S )]]. Como en los métodos de simulación tipo ''accept-reject'' hay por definición puntos repetidos, para que el algoritmo tenga sentido habría que tomar los [[LatexEquation( S' < S )]] puntos únicos 
 
-  [[LatexEquation( x_{i} \wedge i=1 \dots S' )]]
+  [[LatexEquation( x_{i} \in\mathbb{R}^{n} \forall i=1 \dots S' )]]
 
 y llamar
 
-  [[LatexEquation( s_{i} \wedge i=1 \dots S' )]]
+  [[LatexEquation( s_{i} \in\mathbb{N}-\left\{ 0\right\}  \forall i=1 \dots S' )]]
 
 al número de veces que aparece cada uno en la muestra. Obviamente, la suma de los números de apariciones da el tamaño muestral
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 No está claro por el momento cuál podría ser el criterio para seleccionar el número [[LatexEquation( k )]] de vecinos en cada entorno, pero debe ser en cualquier caso un número bastante pequeño en relación con [[LatexEquation( S' )]] pues se trata de observar el comportamiento a nivel local. También ha de ser bastante pequeño en términos absolutos porque la complejidad del algoritmo KNN crece cuadráticamente con el tamaño del vecindario. Tampoco puede ser excesivamente pequeño porque entonces quedarían amplias zonas del espacio sin recubrir por no estar lo suficientemente cerca de ninguno de los puntos muestreados. Lo ideal sería tomar un sistema de entornos que recubriera de forma conexa y compacta la muestra, aunque eso no parece facil de comprobar a primera vista. Tampoco es en principio obligatorio tomar el mismo número de puntos en cada entorno aunque por el momento supondremos que es así.
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 Sean los [[LatexEquation( k )]] puntos muestrales vecinos de [[LatexEquation( x_{i} )]] en orden de proximidad al mismo
 
-  [[LatexEquation( y_{i,j} \wedge i=1 \dots S \wedge j=1 \dots k )]]
+  [[LatexEquation( y_{i,j} \forall i=1 \dots S' \wedge j=1 \dots k )]]
 
 Sea la distancia euclídea del punto [[LatexEquation( x_{i} )]] a su [[LatexEquation( k )]]-ésimo vecino más próximo
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 y calculamos la aproximación del logaritmo de la verosimilitud en cada uno de ellos mediante la fórmula de ponderación de Sheppard
 
-  [[LatexEquation( \ln\tilde{\pi}\left(z\right)=\frac{\underset{j=0}{\overset{k}{\sum}}w_{j}\left(z\right)\ln\pi_{i,j}}{\underset{j=0}{\overset{k}{\sum}}w_{j}\left(z\right)}\wedge y_{i,0}=x_{i}\wedge\pi_{i,0}=\pi_{i}\wedge w_{j}\left(z\right)=\left\Vert z-y_{i,j}\right\Vert ^{-2}  )]]
+  [[LatexEquation( \ln{\tilde{\pi}}_i\left(z\right)=\frac{\underset{j=0}{\overset{k}{\sum}}w_{j}\left(z\right)\ln\pi_{i,j}}{\underset{j=0}{\overset{k}{\sum}}w_{j}\left(z\right)}\wedge y_{i,0}=x_{i}\wedge\pi_{i,0}=\pi_{i}\wedge w_{j}\left(z\right)=\left\Vert z-y_{i,j}\right\Vert ^{-2}  )]]
     
 Si el número [[LatexEquation( k+1 )]] de puntos básicos de la interpolación [[LatexEquation( y_{i,j} \wedge j=0 \dots k)]], es demasiado pequeño se puede ampliar con sus vecinos, los vecinos de sus vecinos y así sucesivamente hasta que haya suficientes puntos básicos distintos. Gracias al algoritmo KNN esto no supondrá apenas ningún sobrecoste.