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Timestamp:

Jan 6, 2011, 12:53:59 AM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerPostProccess

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 == Aproximación de la probabilidad del entorno local ==
   
-La anterior integral sería algo muy costoso de evaluar, pero lo que sí conocemos sin coste adicional es el logaritmo de la verosimilitud, salvo una constante [[LatexEquation(\lambda_0)]] desconocida, evaluado en cada uno de los puntos muestrales, es decir, conocemos
+La anterior integral sería algo muy costoso de evaluar así que hay que aproximarla por el método de Montecarlo, como el producto de la media de las verosimilitudes en un conjunto de puntos del entorno por el hipervolumen del mismo
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+  [[LatexEquation( p_{i}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\pi\left(z_{i,j}\right)V\left(\Omega_{i}\right)\wedge z_{i,j}\in\Omega_{i}\forall j=1\ldots N\wedge i=1\ldots S' )]]
+
+El error en este tipo de aproximaciones decrece proporcionalmente a la raíz del número de puntos en el que evaluamos la verosimilitud pero sólo tenemos [[LatexEquation( h_{i} )]] puntos interiores. Por otra parte tampoco conocemos la verosimilitud sino una función porporcional a la misma. Es decir, lo único conocemos sin coste adicional es el logaritmo de la verosimilitud, salvo una constante [[LatexEquation(\lambda_0)]] desconocida, evaluado en cada uno de los puntos muestrales, es decir, conocemos
   [[LatexEquation( \ln\pi_{i}=\ln\pi\left(x_{i}\right)+\lambda_0 )]] [[BR]][[BR]]
-  [[LatexEquation( \ln\pi_{i,j}=\ln\pi\left(y_{i,j}\right)+\lambda_0 )]] [[BR]]
+  [[LatexEquation( \ln\pi_{i,j}=\ln\pi\left(y_{i,j}\right)+\lambda_0 )]] [[BR]]  
 
-Podemos pues aproximar dicha integral por el método de Montecarlo, como el producto de la media de las verosimilitudes por el hipervolumen de la región hiperesférica, que será proporcional a
-  [[LatexEquation( r^n_{i,k} )]] [[BR]]
-
-Es posible mejorar la aproximación de la integral por interpolación, concretamente mediante el [http://www.alglib.net/interpolation/inversedistanceweighting.php método de Sheppard de ponderación inversa a la distancia] que es muy eficiente pues no requiere de ninguna evaluación extra. Esto es especialemente recomendable si existen grandes diferencias en las verosimilitudes de los distintos puntos del vecindario. La interpolación será mejor realizarla en términos logarítmicos pues eso suavizará la función.
+Como evaluar la función demasiadas veces podría ser muy costoso la única forma de mejorar la aproximación de la integral es por interpolación, concretamente mediante el [http://www.alglib.net/interpolation/inversedistanceweighting.php método de Sheppard de ponderación inversa a la distancia] que es muy eficiente pues no requiere de ninguna evaluación extra. Esto es especialemente recomendable si existen grandes diferencias en las verosimilitudes de los distintos puntos del vecindario. La interpolación será mejor realizarla en términos logarítmicos pues eso suavizará la función.
 
 Para ello generaremos [[LatexEquation( N )]] puntos con distribución uniforme en la hiperesfera
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   [[LatexEquation( \ln\tilde{\pi}\left(z\right)=\frac{\underset{j=0}{\overset{k}{\sum}}w_{j}\left(z\right)\ln\pi_{i,j}}{\underset{j=0}{\overset{k}{\sum}}w_{j}\left(z\right)}\wedge y_{i,0}=x_{i}\wedge\pi_{i,0}=\pi_{i}\wedge w_{j}\left(z\right)=\left\Vert z-y_{i,j}\right\Vert ^{-2}  )]]
-  
-De esta forma tenemos la fórmula de aproximación
+    
+Como el volumen de la hiperesfera es proporcional a
+  [[LatexEquation( r^n_{i,k} )]] [[BR]]
+
+nos queda la fórmula de aproximación 
   
   [[LatexEquation( \ln p_{i}=\mu_{0}+\nu_{i}  )]]
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   [[LatexEquation( \nu_{i}=\ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i,k} )]]
   
-Puesto que unaa probabilidad ha de ser menor que 1 su logaritmo es siempre negativo, por lo que tenemos una cota para la constante
+Puesto que una probabilidad ha de ser menor que 1 su logaritmo es siempre negativo, por lo que tenemos una cota para la constante
 
   [[LatexEquation( \mu_{0}<-\underset{i=S'}{\max}\left\{ \nu_{i}\right\}  )]] [[BR]]
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   [[LatexEquation( L\left(\mu_{0}\right)=\underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\ln\left(P_{i}\right) )]] [[BR]]
 
-  
-Para que esta expresión sea evaluable debe cumplirse
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-  [[LatexEquation( 1-e^{p_{i}}>0\forall i=1\ldots S' )]]
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 Así pues tendremos el problema de optimización univariante