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Nov 24, 2009, 7:55:55 PM (17 years ago)
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Víctor de Buen <vdebuen@…>
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07d3b84
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    r07d3b84 r074a354  
    111111\end_layout
    112112
    113 \begin_layout Part*
    114 Aproximación de funciones multivariantes mediante regresión lineal jerárquica
    115 \end_layout
    116 
    117113\begin_layout Section
    118114Antecedentes
    … …  
    536532\begin{array}{c}
    5375330=\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}p_{k}\left(z_{h,s,t}-y_{h}\right)\alpha_{h,k}\cdot-\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}p_{k}\left(z_{h,s,t}-y_{s}\right)\alpha_{s,k}\cdot+e_{h,s,j}\end{array}\end{equation}
    538 
    539 \end_inset
    540 
    541 
    542 \end_layout
    543 
    544 \begin_layout Section
    545 Diseño del modelo
    546 \end_layout
    547 
    548 \begin_layout Subsection
    549 Ortonormalización de la geometría del problema
    550 \end_layout
    551 
    552 \begin_layout Standard
    553 Si la matriz nodal
    554 \begin_inset Formula $X$
    555 \end_inset
    556 
    557  es de rango completo entonces existe un cambio de variable
    558 \begin_inset Formula $C\in\mathbb{R}^{n\times n}$
    559 \end_inset
    560 
    561  tal que la nueva matriz nodal es ortonormal
    562 \begin_inset Formula \begin{equation}
    563 \begin{array}{c}
    564 \dot{X}=X\cdot C\\
    565 \dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=I\end{array}\end{equation}
    566 
    567 \end_inset
    568 
    569 
    570 \end_layout
    571 
    572 \begin_layout Standard
    573 Existen muchos métodos para calcular
    574 \begin_inset Formula $C$
    575 \end_inset
    576 
    577  pero en principio la forma más eficaz es mediante la descomposición de
    578  Cholesky
    579 \end_layout
    580 
    581 \begin_layout Standard
    582 \begin_inset Formula \begin{equation}
    583 \begin{array}{c}
    584 X^{T}\cdot X=L\cdot L^{T}\\
    585 C=L^{-T}\\
    586 \dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=L^{-1}\cdot X^{T}\cdot X\cdot L^{-T}=L^{-1}\cdot L\cdot L^{T}\cdot L^{-T}=I\end{array}\end{equation}
    587 
    588 \end_inset
    589 
    590 
    591 \end_layout
    592 
    593 \begin_layout Standard
    594 Si la matriz nodal es de rango
    595 \begin_inset Formula $r<n$
    596 \end_inset
    597 
    598  entonces habría que buscar un cambio de variable
    599 \begin_inset Formula $C\in\mathbb{R}^{n\times r}$
    600 \end_inset
    601 
    602  aplicando la descomposición de Jordan
    603 \begin_inset Formula \begin{equation}
    604 \begin{array}{c}
    605 X^{T}\cdot X=V\cdot D^{2}\cdot V^{T}\\
    606 C=V\cdot D^{-1}\\
    607 \dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=D^{-1}\cdot V^{T}\cdot X^{T}\cdot X\cdot V\cdot D^{-1}=I\end{array}\end{equation}
    608 
    609 \end_inset
    610 
    611 
    612 \end_layout
    613 
    614 \begin_layout Standard
    615 En adelante supondremos que la matriz nodal ya ha sido ortonormalizada previamen
    616 te.
    617 \end_layout
    618 
    619 \begin_layout Subsection
    620 Selección de la base de funciones de aproximación local
    621 \end_layout
    622 
    623 \begin_layout Standard
    624 La base más habitual será en principio la base polinómica de grado
    625 \begin_inset Formula $r$
    626 \end_inset
    627 
    628 
    629 \end_layout
    630 
    631 \begin_layout Standard
    632 \begin_inset Float table
    633 placement h
    634 wide false
    635 sideways false
    636 status open
    637 
    638 \begin_layout Plain Layout
    639 \begin_inset Tabular
    640 <lyxtabular version="3" rows="8" columns="4">
    641 <features>
    642 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
    643 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
    644 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
    645 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
    646 <row>
    647 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    648 \begin_inset Text
    649 
    650 \begin_layout Plain Layout
    651 \begin_inset Formula $n$
    652 \end_inset
    653 
    654 
    655 \end_layout
    656 
    657 \end_inset
    658 </cell>
    659 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    660 \begin_inset Text
    661 
    662 \begin_layout Plain Layout
    663 \begin_inset Formula $r$
    664 \end_inset
    665 
    666 
    667 \end_layout
    668 
    669 \end_inset
    670 </cell>
    671 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    672 \begin_inset Text
    673 
    674 \begin_layout Plain Layout
    675 \begin_inset Formula $\mathcal{P}$
    676 \end_inset
    677 
    678 
    679 \end_layout
    680 
    681 \end_inset
    682 </cell>
    683 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    684 \begin_inset Text
    685 
    686 \begin_layout Plain Layout
    687 \begin_inset Formula $K$
    688 \end_inset
    689 
    690 
    691 \end_layout
    692 
    693 \end_inset
    694 </cell>
    695 </row>
    696 <row>
    697 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    698 \begin_inset Text
    699 
    700 \begin_layout Plain Layout
    701 \begin_inset Formula $\cdots$
    702 \end_inset
    703 
    704 
    705 \end_layout
    706 
    707 \end_inset
    708 </cell>
    709 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    710 \begin_inset Text
    711 
    712 \begin_layout Plain Layout
    713 0
    714 \end_layout
    715 
    716 \end_inset
    717 </cell>
    718 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    719 \begin_inset Text
    720 
    721 \begin_layout Plain Layout
    722 \begin_inset Formula $1$
    723 \end_inset
    724 
    725 
    726 \end_layout
    727 
    728 \end_inset
    729 </cell>
    730 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    731 \begin_inset Text
    732 
    733 \begin_layout Plain Layout
    734 1
    735 \end_layout
    736 
    737 \end_inset
    738 </cell>
    739 </row>
    740 <row>
    741 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    742 \begin_inset Text
    743 
    744 \begin_layout Plain Layout
    745 1
    746 \end_layout
    747 
    748 \end_inset
    749 </cell>
    750 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    751 \begin_inset Text
    752 
    753 \begin_layout Plain Layout
    754 1
    755 \end_layout
    756 
    757 \end_inset
    758 </cell>
    759 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    760 \begin_inset Text
    761 
    762 \begin_layout Plain Layout
    763 \begin_inset Formula $1,x_{1}$
    764 \end_inset
    765 
    766 
    767 \end_layout
    768 
    769 \end_inset
    770 </cell>
    771 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    772 \begin_inset Text
    773 
    774 \begin_layout Plain Layout
    775 2
    776 \end_layout
    777 
    778 \end_inset
    779 </cell>
    780 </row>
    781 <row>
    782 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    783 \begin_inset Text
    784 
    785 \begin_layout Plain Layout
    786 1
    787 \end_layout
    788 
    789 \end_inset
    790 </cell>
    791 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    792 \begin_inset Text
    793 
    794 \begin_layout Plain Layout
    795 2
    796 \end_layout
    797 
    798 \end_inset
    799 </cell>
    800 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    801 \begin_inset Text
    802 
    803 \begin_layout Plain Layout
    804 \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{1}^{2}$
    805 \end_inset
    806 
    807 
    808 \end_layout
    809 
    810 \end_inset
    811 </cell>
    812 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    813 \begin_inset Text
    814 
    815 \begin_layout Plain Layout
    816 3
    817 \end_layout
    818 
    819 \end_inset
    820 </cell>
    821 </row>
    822 <row>
    823 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    824 \begin_inset Text
    825 
    826 \begin_layout Plain Layout
    827 2
    828 \end_layout
    829 
    830 \end_inset
    831 </cell>
    832 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    833 \begin_inset Text
    834 
    835 \begin_layout Plain Layout
    836 1
    837 \end_layout
    838 
    839 \end_inset
    840 </cell>
    841 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    842 \begin_inset Text
    843 
    844 \begin_layout Plain Layout
    845 \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2}$
    846 \end_inset
    847 
    848 
    849 \end_layout
    850 
    851 \end_inset
    852 </cell>
    853 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    854 \begin_inset Text
    855 
    856 \begin_layout Plain Layout
    857 3
    858 \end_layout
    859 
    860 \end_inset
    861 </cell>
    862 </row>
    863 <row>
    864 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    865 \begin_inset Text
    866 
    867 \begin_layout Plain Layout
    868 2
    869 \end_layout
    870 
    871 \end_inset
    872 </cell>
    873 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    874 \begin_inset Text
    875 
    876 \begin_layout Plain Layout
    877 2
    878 \end_layout
    879 
    880 \end_inset
    881 </cell>
    882 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    883 \begin_inset Text
    884 
    885 \begin_layout Plain Layout
    886 \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2}$
    887 \end_inset
    888 
    889 
    890 \end_layout
    891 
    892 \end_inset
    893 </cell>
    894 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    895 \begin_inset Text
    896 
    897 \begin_layout Plain Layout
    898 6
    899 \end_layout
    900 
    901 \end_inset
    902 </cell>
    903 </row>
    904 <row>
    905 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    906 \begin_inset Text
    907 
    908 \begin_layout Plain Layout
    909 3
    910 \end_layout
    911 
    912 \end_inset
    913 </cell>
    914 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    915 \begin_inset Text
    916 
    917 \begin_layout Plain Layout
    918 1
    919 \end_layout
    920 
    921 \end_inset
    922 </cell>
    923 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    924 \begin_inset Text
    925 
    926 \begin_layout Plain Layout
    927 \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{3}$
    928 \end_inset
    929 
    930 
    931 \end_layout
    932 
    933 \end_inset
    934 </cell>
    935 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    936 \begin_inset Text
    937 
    938 \begin_layout Plain Layout
    939 4
    940 \end_layout
    941 
    942 \end_inset
    943 </cell>
    944 </row>
    945 <row>
    946 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    947 \begin_inset Text
    948 
    949 \begin_layout Plain Layout
    950 3
    951 \end_layout
    952 
    953 \end_inset
    954 </cell>
    955 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    956 \begin_inset Text
    957 
    958 \begin_layout Plain Layout
    959 2
    960 \end_layout
    961 
    962 \end_inset
    963 </cell>
    964 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    965 \begin_inset Text
    966 
    967 \begin_layout Plain Layout
    968 \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2},x_{2}x_{3},x_{3}^{2}$
    969 \end_inset
    970 
    971 
    972 \end_layout
    973 
    974 \end_inset
    975 </cell>
    976 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    977 \begin_inset Text
    978 
    979 \begin_layout Plain Layout
    980 9
    981 \end_layout
    982 
    983 \end_inset
    984 </cell>
    985 </row>
    986 </lyxtabular>
    987 
    988 \end_inset
    989 
    990 
    991 \begin_inset Caption
    992 
    993 \begin_layout Plain Layout
    994 Dimensión de la base polinómica
    995 \end_layout
    996 
    997 \end_inset
    998 
    999 
    1000 \end_layout
    1001 
    1002 \end_inset
    1003 
    1004 
    1005 \end_layout
    1006 
    1007 \begin_layout Standard
    1008 Si se puede presumir algun tipo de periodicidad o pseudo-periodicidad en
    1009  la función objetivo, entonces sería mejor usar una base de Fourier.
    1010  Si se observan hay grandes saltos en poco espacio se pueden añadir componentes
    1011  exponenciales.
    1012  Por supuesto se pueden combinar cualesquiera de los antedichos o bien otros
    1013  tipos de función, con la única condición de que sean linealmente independientes.
    1014 \end_layout
    1015 
    1016 \begin_layout Standard
    1017 La dimensión
    1018 \begin_inset Formula $K$
    1019 \end_inset
    1020 
    1021  adecuada para la base de funciones de aproximación local dependerá de la
    1022  dimensión del espacio y de lo suave o rugosa que sea la función.
    1023  Si
    1024 \begin_inset Formula $K$
    1025 \end_inset
    1026 
    1027  empieza a no ser muy pequeño puede ser conveniente ortogonalizar la base
    1028  aplicando la misma técnica del punto anterior a la matriz
    1029 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1030 X_{\mathcal{P}}=\left(\begin{array}{ccc}
    1031 p_{1}\left(x_{1}\right) & \cdots & p_{K}\left(x_{1}\right)\\
    1032 \vdots & \vdots & \vdots\\
    1033 p_{1}\left(x_{J}\right) & \cdots & p_{K}\left(x_{J}\right)\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{J\times K}\end{equation}
    1034 
    1035 \end_inset
    1036 
    1037 
    1038 \end_layout
    1039 
    1040 \begin_layout Subsection
    1041 Función de ponderación y geometría de los entornos locales
    1042 \end_layout
    1043 
    1044 \begin_layout Standard
    1045 A continuación se va a construir una función de ponderación con las característi
    1046 cas especificadas anteriormente.
    1047  En primer lugar se describirá una función de partida
    1048 \begin_inset Formula $\gamma$
    1049 \end_inset
    1050 
    1051  en el caso unidimensional que opera sobre entornos locales en forma de
    1052  intervalo cerrado
    1053 \begin_inset Formula $\left[-1,1\right]$
    1054 \end_inset
    1055 
    1056 , la cual se extenderá al caso multivariante por rotación y escalado, lo
    1057  cual implica entornos locales hiperesféricos de radio arbitrario.
    1058 \end_layout
    1059 
    1060 \begin_layout Standard
    1061 Sea la función real escalar continua y doblemente diferenciale en todo
    1062 \begin_inset Formula $\mathbb{R}$
    1063 \end_inset
    1064 
    1065  
    1066 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1067 \gamma\left(\tau\right)=\begin{cases}
    1068 \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tau\right)^{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tau\right)^{4} & \forall\tau\leq1\\
    1069 0 & \forall\tau>1\end{cases}\end{equation}
    1070 
    1071 \end_inset
    1072 
    1073 correspondiente a la función de densidad de la distribución beta
    1074 \begin_inset Formula $\beta\left(4,4\right)$
    1075 \end_inset
    1076 
    1077  transportada al intervalo
    1078 \begin_inset Formula $\left[-1,1\right]$
    1079 \end_inset
    1080 
    1081  y extendida con ceros en el resto de
    1082 \begin_inset Formula $\mathbb{R}$
    1083 \end_inset
    1084 
    1085 
    1086 \end_layout
    1087 
    1088 \begin_layout Standard
    1089 \begin_inset Float figure
    1090 placement H
    1091 wide false
    1092 sideways false
    1093 status open
    1094 
    1095 \begin_layout Plain Layout
    1096 \begin_inset Caption
    1097 
    1098 \begin_layout Plain Layout
    1099 \begin_inset Graphics
    1100         filename img/lambda_tao.PNG
    1101         scale 40
    1102 
    1103 \end_inset
    1104 
    1105 
    1106 \end_layout
    1107 
    1108 \end_inset
    1109 
    1110 
    1111 \end_layout
    1112 
    1113 \end_inset
    1114 
    1115 
    1116 \end_layout
    1117 
    1118 \begin_layout Standard
    1119 Sus derivadas primera y segunda existen y son continuas en todo
    1120 \begin_inset Formula $\mathbb{R}$
    1121 \end_inset
    1122 
    1123  
    1124 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1125 \gamma'=\begin{cases}
    1126 \frac{1}{32}\tau\left(\tau^{2}-1\right)^{3} & \forall\tau\leq1\\
    1127 0 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation}
    1128 
    1129 \end_inset
    1130 
    1131 
    1132 \end_layout
    1133 
    1134 \begin_layout Standard
    1135 \begin_inset Float figure
    1136 placement H
    1137 wide false
    1138 sideways false
    1139 status open
    1140 
    1141 \begin_layout Plain Layout
    1142 \begin_inset Caption
    1143 
    1144 \begin_layout Plain Layout
    1145 \begin_inset Graphics
    1146         filename img/lambda_tao_d1.PNG
    1147         scale 40
    1148 
    1149 \end_inset
    1150 
    1151 
    1152 \end_layout
    1153 
    1154 \end_inset
    1155 
    1156 
    1157 \end_layout
    1158 
    1159 \end_inset
    1160 
    1161 
    1162 \end_layout
    1163 
    1164 \begin_layout Standard
    1165 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1166 \gamma''=\begin{cases}
    1167 \frac{1}{32}\left(\tau^{2}-1\right)^{2}\left(7\tau^{2}-1\right) & \forall\tau\leq1\\
    1168 0 & \forall\tau>1\end{cases}\end{equation}
    1169 
    1170 \end_inset
    1171 
    1172 
    1173 \end_layout
    1174 
    1175 \begin_layout Standard
    1176 \begin_inset Float figure
    1177 placement H
    1178 wide false
    1179 sideways false
    1180 status open
    1181 
    1182 \begin_layout Plain Layout
    1183 \begin_inset Caption
    1184 
    1185 \begin_layout Plain Layout
    1186 \begin_inset Graphics
    1187         filename img/lambda_tao_d2.PNG
    1188         scale 40
    1189 
    1190 \end_inset
    1191 
    1192 
    1193 \end_layout
    1194 
    1195 \end_inset
    1196 
    1197 
    1198 \end_layout
    1199 
    1200 \end_inset
    1201 
    1202 
    1203 \end_layout
    1204 
    1205 \begin_layout Standard
    1206 A continuación se describirá la extrapolación de estos resultados al caso
    1207  
    1208 \begin_inset Formula $n$
    1209 \end_inset
    1210 
    1211 -dimensional.
    1212  Sólo es necesario tener en cuenta que un intervalo en la recta real no
    1213  deja de ser una hiperesfera de dimensión uno y, además, al estar ortonormalizad
    1214 o el problema la geometría de los entornos hiperesféricos no penaliza ni
    1215  favorece ninguna dirección en particular.
    1216  Si los entornos locales se definen como hiperesferas de radio
    1217 \begin_inset Formula $\delta_{h}$
    1218 \end_inset
    1219 
    1220  centrados en el punto de referencia
    1221 \begin_inset Formula $y_{h}$
    1222 \end_inset
    1223 
    1224 
    1225 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1226 \begin{array}{c}
    1227 x\in\Omega_{h}\Longleftrightarrow\tau_{h}\left(x\right)=\frac{1}{\delta_{h}}\left\Vert x-y_{h}\right\Vert _{2}\leq1\end{array}\end{equation}
    1228 
    1229 \end_inset
    1230 
    1231 entonces es posible definir por rotación la siguiente
    1232 \emph on
    1233 función de cercanía local
    1234 \emph default
    1235  
    1236 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1237 \lambda_{h}\left(x\right)=\gamma\left(\tau_{h}\left(x\right)\right)=\begin{cases}
    1238 \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tau_{h}\left(x\right)\right)^{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tau_{h}\left(x\right)\right)^{4} & \forall x\in\Omega_{h}\\
    1239 0 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation}
    1240 
    1241 \end_inset
    1242 
    1243 
    1244 \end_layout
    1245 
    1246 \begin_layout Standard
    1247 Esta función es continua y doblemente diferenciable, y es no negativa en
    1248  el entorno local y nula fuera de él y tiene un único máximo en el punto
    1249  de referencia
    1250 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1251 \begin{array}{c}
    1252 \lambda_{h}\left(x\right)\geq0\forall x\in\Omega_{h}\\
    1253 \lambda_{h}\left(x\right)=0\forall x\notin\Omega_{h}\\
    1254 \lambda_{h}\left(x\right)<\lambda_{h}\left(y_{h}\right)\forall x\neq y_{h}\end{array}\end{equation}
    1255 
    1256 \end_inset
    1257 
    1258 Resulta evidente que las siguientes funciones cumplen todas las condiciones
    1259  de las funciones de ponderación
    1260 \end_layout
    1261 
    1262 \begin_layout Standard
    1263 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1264 w_{h}\left(x\right)=\begin{cases}
    1265 \frac{\lambda_{h}\left(x\right)}{\overset{}{\underset{x\in\Omega_{s}}{\sum}}\lambda_{s}\left(x\right)} & \forall x\in\Omega_{h}\\
    1266 0 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation}
    1267 
    1268 \end_inset
    1269 
    1270 
    1271 \end_layout
    1272 
    1273 \begin_layout Standard
    1274 Todo lo anterior seguiría siendo cierto partiendo de cualquier distribución
    1275  beta simétrica de orden entero mayor o igual que 4 pero no con orden 3
    1276  pues en ese caso la segunda derivada no sería continua en la frontera.
    1277  En la gráfica siguiente se muestra cómo la función de cercanía se hace
    1278  más concentrada en el punto de referencia cuanto más grande es el orden
    1279  de la beta simétrica.
    1280 \end_layout
    1281 
    1282 \begin_layout Standard
    1283 \begin_inset Float figure
    1284 placement H
    1285 wide false
    1286 sideways false
    1287 status open
    1288 
    1289 \begin_layout Plain Layout
    1290 \begin_inset Caption
    1291 
    1292 \begin_layout Plain Layout
    1293 \begin_inset Graphics
    1294         filename img/sample_1_beta_order.PNG
    1295         scale 40
    1296 
    1297 \end_inset
    1298 
    1299 
    1300 \end_layout
    1301 
    1302 \end_inset
    1303 
    1304 
    1305 \end_layout
    1306 
    1307 \end_inset
    1308 
    1309 
    1310 \end_layout
    1311 
    1312 \begin_layout Standard
    1313 A continuación se ilustrará lo anterior con un ejemplo unidimensional con
    1314  tres puntos de referencia y base polinómica de grado 2 y se supondrá que
    1315  ya se ha efectuado la estimación de la regresión lineal.
    1316 \end_layout
    1317 
    1318 \begin_layout Standard
    1319 \begin_inset Float table
    1320 placement H
    1321 wide false
    1322 sideways false
    1323 status open
    1324 
    1325 \begin_layout Plain Layout
    1326 \begin_inset Tabular
    1327 <lyxtabular version="3" rows="4" columns="4">
    1328 <features>
    1329 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
    1330 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
    1331 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
    1332 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
    1333 <row>
    1334 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    1335 \begin_inset Text
    1336 
    1337 \begin_layout Plain Layout
    1338 \begin_inset Formula $h$
    1339 \end_inset
    1340 
    1341 
    1342 \end_layout
    1343 
    1344 \end_inset
    1345 </cell>
    1346 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
    1347 \begin_inset Text
    1348 
    1349 \begin_layout Plain Layout
    1350 \begin_inset Formula $y_{h}$
    1351 \end_inset
    1352 
    1353 
    1354 \end_layout
    1355 
    1356 \end_inset
    1357 </cell>
    1358 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    1359 \begin_inset Text
    1360 
    1361 \begin_layout Plain Layout
    1362 \begin_inset Formula $\delta_{h}$
    1363 \end_inset
    1364 
    1365 
    1366 \end_layout
    1367 
    1368 \end_inset
    1369 </cell>
    1370 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
    1371 \begin_inset Text
    1372 
    1373 \begin_layout Plain Layout
    1374 \begin_inset Formula $g_{h}\left(x\right)$
    1375 \end_inset
    1376 
    1377 
    1378 \end_layout
    1379 
    1380 \end_inset
    1381 </cell>
    1382 </row>
    1383 <row>
    1384 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    1385 \begin_inset Text
    1386 
    1387 \begin_layout Plain Layout
    1388 \begin_inset Formula $1$
    1389 \end_inset
    1390 
    1391 
    1392 \end_layout
    1393 
    1394 \end_inset
    1395 </cell>
    1396 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
    1397 \begin_inset Text
    1398 
    1399 \begin_layout Plain Layout
    1400 \begin_inset Formula $-3$
    1401 \end_inset
    1402 
    1403 
    1404 \end_layout
    1405 
    1406 \end_inset
    1407 </cell>
    1408 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    1409 \begin_inset Text
    1410 
    1411 \begin_layout Plain Layout
    1412 \begin_inset Formula $6$
    1413 \end_inset
    1414 
    1415 
    1416 \end_layout
    1417 
    1418 \end_inset
    1419 </cell>
    1420 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
    1421 \begin_inset Text
    1422 
    1423 \begin_layout Plain Layout
    1424 \begin_inset Formula $1+2(x-y_{1})-(x-y_{1})^{2}$
    1425 \end_inset
    1426 
    1427 
    1428 \end_layout
    1429 
    1430 \end_inset
    1431 </cell>
    1432 </row>
    1433 <row>
    1434 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    1435 \begin_inset Text
    1436 
    1437 \begin_layout Plain Layout
    1438 \begin_inset Formula $2$
    1439 \end_inset
    1440 
    1441 
    1442 \end_layout
    1443 
    1444 \end_inset
    1445 </cell>
    1446 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
    1447 \begin_inset Text
    1448 
    1449 \begin_layout Plain Layout
    1450 \begin_inset Formula $1$
    1451 \end_inset
    1452 
    1453 
    1454 \end_layout
    1455 
    1456 \end_inset
    1457 </cell>
    1458 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    1459 \begin_inset Text
    1460 
    1461 \begin_layout Plain Layout
    1462 \begin_inset Formula $3.5$
    1463 \end_inset
    1464 
    1465 
    1466 \end_layout
    1467 
    1468 \end_inset
    1469 </cell>
    1470 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
    1471 \begin_inset Text
    1472 
    1473 \begin_layout Plain Layout
    1474 \begin_inset Formula $3-4(x-y_{2})+(x-y_{2})^{2}$
    1475 \end_inset
    1476 
    1477 
    1478 \end_layout
    1479 
    1480 \end_inset
    1481 </cell>
    1482 </row>
    1483 <row>
    1484 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    1485 \begin_inset Text
    1486 
    1487 \begin_layout Plain Layout
    1488 \begin_inset Formula $3$
    1489 \end_inset
    1490 
    1491 
    1492 \end_layout
    1493 
    1494 \end_inset
    1495 </cell>
    1496 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
    1497 \begin_inset Text
    1498 
    1499 \begin_layout Plain Layout
    1500 \begin_inset Formula $5$
    1501 \end_inset
    1502 
    1503 
    1504 \end_layout
    1505 
    1506 \end_inset
    1507 </cell>
    1508 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
    1509 \begin_inset Text
    1510 
    1511 \begin_layout Plain Layout
    1512 \begin_inset Formula $5$
    1513 \end_inset
    1514 
    1515 
    1516 \end_layout
    1517 
    1518 \end_inset
    1519 </cell>
    1520 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
    1521 \begin_inset Text
    1522 
    1523 \begin_layout Plain Layout
    1524 \begin_inset Formula $-5+6(x-y_{3})+2(x-y_{3})^{2}$
    1525 \end_inset
    1526 
    1527 
    1528 \end_layout
    1529 
    1530 \end_inset
    1531 </cell>
    1532 </row>
    1533 </lyxtabular>
    1534 
    1535 \end_inset
    1536 
    1537 
    1538 \begin_inset Caption
    1539 
    1540 \begin_layout Plain Layout
    1541 Datos del ejemplo 1
    1542 \end_layout
    1543 
    1544 \end_inset
    1545 
    1546 
    1547 \end_layout
    1548 
    1549 \end_inset
    1550 
    1551 
    1552 \end_layout
    1553 
    1554 \begin_layout Standard
    1555 \begin_inset Float figure
    1556 placement H
    1557 wide false
    1558 sideways false
    1559 status open
    1560 
    1561 \begin_layout Plain Layout
    1562 \begin_inset Caption
    1563 
    1564 \begin_layout Plain Layout
    1565 \begin_inset Graphics
    1566         filename img/sample_1_lambda.PNG
    1567         scale 40
    1568 
    1569 \end_inset
    1570 
    1571 
    1572 \end_layout
    1573 
    1574 \end_inset
    1575 
    1576 Funciones de cercanía local
    1577 \end_layout
    1578 
    1579 \end_inset
    1580 
    1581 
    1582 \end_layout
    1583 
    1584 \begin_layout Standard
    1585 \begin_inset Float figure
    1586 placement H
    1587 wide false
    1588 sideways false
    1589 status open
    1590 
    1591 \begin_layout Plain Layout
    1592 \begin_inset Caption
    1593 
    1594 \begin_layout Plain Layout
    1595 \begin_inset Graphics
    1596         filename img/sample_1_lambda_sum.PNG
    1597         scale 50
    1598 
    1599 \end_inset
    1600 
    1601 
    1602 \end_layout
    1603 
    1604 \end_inset
    1605 
    1606 Sumatorio global de las funciones de cercanía
    1607 \end_layout
    1608 
    1609 \end_inset
    1610 
    1611 
    1612 \end_layout
    1613 
    1614 \begin_layout Standard
    1615 \begin_inset Float figure
    1616 placement H
    1617 wide false
    1618 sideways false
    1619 status open
    1620 
    1621 \begin_layout Plain Layout
    1622 \begin_inset Caption
    1623 
    1624 \begin_layout Plain Layout
    1625 \begin_inset Graphics
    1626         filename img/sample_1_weight.PNG
    1627         scale 40
    1628 
    1629 \end_inset
    1630 
    1631 
    1632 \end_layout
    1633 
    1634 \end_inset
    1635 
    1636 Funciones de ponderación
    1637 \end_layout
    1638 
    1639 \end_inset
    1640 
    1641 
    1642 \end_layout
    1643 
    1644 \begin_layout Standard
    1645 \begin_inset Float figure
    1646 placement H
    1647 wide false
    1648 sideways false
    1649 status open
    1650 
    1651 \begin_layout Plain Layout
    1652 \begin_inset Caption
    1653 
    1654 \begin_layout Plain Layout
    1655 \begin_inset Graphics
    1656         filename img/sample_1_local_aprox.PNG
    1657         scale 40
    1658 
    1659 \end_inset
    1660 
    1661 
    1662 \end_layout
    1663 
    1664 \end_inset
    1665 
    1666 Funciones de aproximación local
    1667 \end_layout
    1668 
    1669 \end_inset
    1670 
    1671 
    1672 \end_layout
    1673 
    1674 \begin_layout Standard
    1675 \begin_inset Float figure
    1676 placement H
    1677 wide false
    1678 sideways false
    1679 status open
    1680 
    1681 \begin_layout Plain Layout
    1682 \begin_inset Caption
    1683 
    1684 \begin_layout Plain Layout
    1685 \begin_inset Graphics
    1686         filename img/sample_1_global_aprox.PNG
    1687         scale 40
    1688 
    1689 \end_inset
    1690 
    1691 
    1692 \end_layout
    1693 
    1694 \end_inset
    1695 
    1696 Función de aproximación global
    1697 \end_layout
    1698 
    1699 \end_inset
    1700 
    1701 
    1702 \end_layout
    1703 
    1704 \begin_layout Subsection
    1705 Diseño del recubrimiento
    1706 \end_layout
    1707 
    1708 \begin_layout Standard
    1709 Si se coloca un punto de referencia en cada punto nodal y no se usan puntos
    1710  de estrés entonces estaríamos ante el caso particular de aproximación de
    1711  funciones sin malla, aunque dado el sistema de estimación no aportaría
    1712  ninguna ganancia sino más bien al contrario: de una buena selección de
    1713  la malla puede depender la calidad y laeficiencia de la aproximación.
    1714 \end_layout
    1715 
    1716 \begin_layout Standard
    1717 Para que la regresión lineal no sea degenerada debe tener más ecuaciones
    1718  que variables
    1719 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1720 J+T\geq\begin{array}{c}
    1721 H\cdot K\end{array}\end{equation}
    1722 
    1723 \end_inset
    1724 
    1725 
    1726 \end_layout
    1727 
    1728 \begin_layout Standard
    1729 De hecho, para que se pueda hacer inferencia la superficie de contraste
    1730  ha de ser razonablemente grande
    1731 \end_layout
    1732 
    1733 \begin_layout Standard
    1734 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1735 SC=\begin{array}{c}
    1736 \frac{J+T}{H\cdot K}\gg1\end{array}\end{equation}
    1737 
    1738 \end_inset
    1739 
    1740 
    1741 \end_layout
    1742 
    1743 \begin_layout Standard
    1744 Para aumentar la superficie de contraste sin rebajar el tamaño de la base
    1745  ni el número de puntos de referencia se deben añadir máspuntosde estrés.
    1746  En las intersecciones entre pares de entornos locales en los que haya algún
    1747  punto nodal lo más prudente sería que estos ejercieran a su vez de puntos
    1748  de estrés.
    1749  En aquellas en las que no los hubiera sería recomendable introducirlos
    1750  de forma artificial.
    1751 \end_layout
    1752 
    1753 \begin_layout Standard
    1754 Cuanto menos solapamiento haya entre las regiones de entorno local más dispersa
    1755  será la matriz de regresión y los cálculos podrán ejecutarse en menos tiempo,
    1756  pero menos suave será la transición entre ellos.
    1757 \end_layout
    1758 
    1759 \begin_layout Standard
    1760 Lo ideal sería que cada entorno de referencia encerrara aproximadamente
    1761  el mismo número de puntos nodales para que el contraste de sus parámetros
    1762  fuera del mismo rango para todos ellos.
    1763  Si los puntos nodales se hallan distribuidos más o menos uniformemente
    1764  la forma de malla regular es la manera más eficaz de colocar los puntos
    1765  de referencia y sus entornos para recubrir una región del espacio con el
    1766  mínimo solpamiento.
    1767 \end_layout
    1768 
    1769 \begin_layout Standard
    1770 \begin_inset Float figure
    1771 placement H
    1772 wide false
    1773 sideways false
    1774 status open
    1775 
    1776 \begin_layout Plain Layout
    1777 \begin_inset Caption
    1778 
    1779 \begin_layout Plain Layout
    1780 \begin_inset Graphics
    1781         filename img/local_environment_regular.PNG
    1782 
    1783 \end_inset
    1784 
    1785 
    1786 \end_layout
    1787 
    1788 \end_inset
    1789 
    1790 Recubrimiento bidimensional regular
    1791 \end_layout
    1792 
    1793 \end_inset
    1794 
    1795 
    1796 \end_layout
    1797 
    1798 \begin_layout Standard
    1799 Cuando la densidad de puntos nodales no es homogénea lo más prudente es
    1800  adaptar el recubrimiento a las circunstancias.
    1801  Resulta relativamente sencillo pasar de un recubrimiento de un radio dado
    1802  a otro de la mitad de radio de una forma bastante eficiente.
    1803 \end_layout
    1804 
    1805 \begin_layout Standard
    1806 \begin_inset Float figure
    1807 placement H
    1808 wide false
    1809 sideways false
    1810 status open
    1811 
    1812 \begin_layout Plain Layout
    1813 \begin_inset Caption
    1814 
    1815 \begin_layout Plain Layout
    1816 \begin_inset Graphics
    1817         filename img/local_environment_irregular.PNG
    1818 
    1819 \end_inset
    1820 
    1821 
    1822 \end_layout
    1823 
    1824 \end_inset
    1825 
    1826 Recubrimiento bidimensional irregular
    1827 \end_layout
    1828 
    1829 \end_inset
    1830 
    1831 
    1832 \end_layout
    1833 
    1834 \begin_layout Standard
    1835 Una forma alternativa y más sencilla de homogeneizar el recubrimiento es
    1836  aplicar una función continua y doblemente diferenciable de deformación
    1837  del espacio que convierta los puntos originales en puntos cuya distribución
    1838  sea aproximadamente uniforme
    1839 \end_layout
    1840 
    1841 \begin_layout Standard
    1842 \begin_inset Formula \begin{equation}
    1843 \eta\left(x\right):\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}\end{equation}
    1844534
    1845535\end_inset
    … …  
    2024714\end_layout
    2025715
    2026 \begin_layout Part*
    2027 Bibliografía
     716\begin_layout Section
     717Diseño del modelo
     718\end_layout
     719
     720\begin_layout Subsection
     721Ortonormalización de la geometría del problema
     722\end_layout
     723
     724\begin_layout Standard
     725Si la matriz nodal
     726\begin_inset Formula $X$
     727\end_inset
     728
     729 es de rango completo entonces existe un cambio de variable
     730\begin_inset Formula $C\in\mathbb{R}^{n\times n}$
     731\end_inset
     732
     733 tal que la nueva matriz nodal es ortonormal
     734\begin_inset Formula \begin{equation}
     735\begin{array}{c}
     736\dot{X}=X\cdot C\\
     737\dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=I\end{array}\end{equation}
     738
     739\end_inset
     740
     741
     742\end_layout
     743
     744\begin_layout Standard
     745Existen muchos métodos para calcular
     746\begin_inset Formula $C$
     747\end_inset
     748
     749 pero en principio la forma más eficaz es mediante la descomposición de
     750 Cholesky
     751\end_layout
     752
     753\begin_layout Standard
     754\begin_inset Formula \begin{equation}
     755\begin{array}{c}
     756X^{T}\cdot X=L\cdot L^{T}\\
     757C=L^{-T}\\
     758\dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=L^{-1}\cdot X^{T}\cdot X\cdot L^{-T}=L^{-1}\cdot L\cdot L^{T}\cdot L^{-T}=I\end{array}\end{equation}
     759
     760\end_inset
     761
     762
     763\end_layout
     764
     765\begin_layout Standard
     766Si la matriz nodal es de rango
     767\begin_inset Formula $r<n$
     768\end_inset
     769
     770 entonces habría que buscar un cambio de variable
     771\begin_inset Formula $C\in\mathbb{R}^{n\times r}$
     772\end_inset
     773
     774 aplicando la descomposición de Jordan
     775\begin_inset Formula \begin{equation}
     776\begin{array}{c}
     777X^{T}\cdot X=V\cdot D^{2}\cdot V^{T}\\
     778C=V\cdot D^{-1}\\
     779\dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=D^{-1}\cdot V^{T}\cdot X^{T}\cdot X\cdot V\cdot D^{-1}=I\end{array}\end{equation}
     780
     781\end_inset
     782
     783
     784\end_layout
     785
     786\begin_layout Standard
     787En adelante supondremos que la matriz nodal ya ha sido ortonormalizada previamen
     788te.
     789\end_layout
     790
     791\begin_layout Subsection
     792Selección de la base de funciones de aproximación local
     793\end_layout
     794
     795\begin_layout Standard
     796La base más habitual será en principio la base polinómica de grado
     797\begin_inset Formula $r$
     798\end_inset
     799
     800
     801\end_layout
     802
     803\begin_layout Standard
     804\begin_inset Float table
     805placement h
     806wide false
     807sideways false
     808status open
     809
     810\begin_layout Plain Layout
     811\begin_inset Tabular
     812<lyxtabular version="3" rows="8" columns="4">
     813<features>
     814<column alignment="center" valignment="top" width="0">
     815<column alignment="center" valignment="top" width="0">
     816<column alignment="center" valignment="top" width="0">
     817<column alignment="center" valignment="top" width="0">
     818<row>
     819<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     820\begin_inset Text
     821
     822\begin_layout Plain Layout
     823\begin_inset Formula $n$
     824\end_inset
     825
     826
     827\end_layout
     828
     829\end_inset
     830</cell>
     831<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     832\begin_inset Text
     833
     834\begin_layout Plain Layout
     835\begin_inset Formula $r$
     836\end_inset
     837
     838
     839\end_layout
     840
     841\end_inset
     842</cell>
     843<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     844\begin_inset Text
     845
     846\begin_layout Plain Layout
     847\begin_inset Formula $\mathcal{P}$
     848\end_inset
     849
     850
     851\end_layout
     852
     853\end_inset
     854</cell>
     855<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     856\begin_inset Text
     857
     858\begin_layout Plain Layout
     859\begin_inset Formula $K$
     860\end_inset
     861
     862
     863\end_layout
     864
     865\end_inset
     866</cell>
     867</row>
     868<row>
     869<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     870\begin_inset Text
     871
     872\begin_layout Plain Layout
     873\begin_inset Formula $\cdots$
     874\end_inset
     875
     876
     877\end_layout
     878
     879\end_inset
     880</cell>
     881<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     882\begin_inset Text
     883
     884\begin_layout Plain Layout
     8850
     886\end_layout
     887
     888\end_inset
     889</cell>
     890<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     891\begin_inset Text
     892
     893\begin_layout Plain Layout
     894\begin_inset Formula $1$
     895\end_inset
     896
     897
     898\end_layout
     899
     900\end_inset
     901</cell>
     902<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     903\begin_inset Text
     904
     905\begin_layout Plain Layout
     9061
     907\end_layout
     908
     909\end_inset
     910</cell>
     911</row>
     912<row>
     913<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     914\begin_inset Text
     915
     916\begin_layout Plain Layout
     9171
     918\end_layout
     919
     920\end_inset
     921</cell>
     922<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     923\begin_inset Text
     924
     925\begin_layout Plain Layout
     9261
     927\end_layout
     928
     929\end_inset
     930</cell>
     931<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     932\begin_inset Text
     933
     934\begin_layout Plain Layout
     935\begin_inset Formula $1,x_{1}$
     936\end_inset
     937
     938
     939\end_layout
     940
     941\end_inset
     942</cell>
     943<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     944\begin_inset Text
     945
     946\begin_layout Plain Layout
     9472
     948\end_layout
     949
     950\end_inset
     951</cell>
     952</row>
     953<row>
     954<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     955\begin_inset Text
     956
     957\begin_layout Plain Layout
     9581
     959\end_layout
     960
     961\end_inset
     962</cell>
     963<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     964\begin_inset Text
     965
     966\begin_layout Plain Layout
     9672
     968\end_layout
     969
     970\end_inset
     971</cell>
     972<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     973\begin_inset Text
     974
     975\begin_layout Plain Layout
     976\begin_inset Formula $1,x_{1},x_{1}^{2}$
     977\end_inset
     978
     979
     980\end_layout
     981
     982\end_inset
     983</cell>
     984<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     985\begin_inset Text
     986
     987\begin_layout Plain Layout
     9883
     989\end_layout
     990
     991\end_inset
     992</cell>
     993</row>
     994<row>
     995<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     996\begin_inset Text
     997
     998\begin_layout Plain Layout
     9992
     1000\end_layout
     1001
     1002\end_inset
     1003</cell>
     1004<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1005\begin_inset Text
     1006
     1007\begin_layout Plain Layout
     10081
     1009\end_layout
     1010
     1011\end_inset
     1012</cell>
     1013<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1014\begin_inset Text
     1015
     1016\begin_layout Plain Layout
     1017\begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2}$
     1018\end_inset
     1019
     1020
     1021\end_layout
     1022
     1023\end_inset
     1024</cell>
     1025<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1026\begin_inset Text
     1027
     1028\begin_layout Plain Layout
     10293
     1030\end_layout
     1031
     1032\end_inset
     1033</cell>
     1034</row>
     1035<row>
     1036<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1037\begin_inset Text
     1038
     1039\begin_layout Plain Layout
     10402
     1041\end_layout
     1042
     1043\end_inset
     1044</cell>
     1045<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1046\begin_inset Text
     1047
     1048\begin_layout Plain Layout
     10492
     1050\end_layout
     1051
     1052\end_inset
     1053</cell>
     1054<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1055\begin_inset Text
     1056
     1057\begin_layout Plain Layout
     1058\begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2}$
     1059\end_inset
     1060
     1061
     1062\end_layout
     1063
     1064\end_inset
     1065</cell>
     1066<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1067\begin_inset Text
     1068
     1069\begin_layout Plain Layout
     10706
     1071\end_layout
     1072
     1073\end_inset
     1074</cell>
     1075</row>
     1076<row>
     1077<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1078\begin_inset Text
     1079
     1080\begin_layout Plain Layout
     10813
     1082\end_layout
     1083
     1084\end_inset
     1085</cell>
     1086<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1087\begin_inset Text
     1088
     1089\begin_layout Plain Layout
     10901
     1091\end_layout
     1092
     1093\end_inset
     1094</cell>
     1095<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1096\begin_inset Text
     1097
     1098\begin_layout Plain Layout
     1099\begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{3}$
     1100\end_inset
     1101
     1102
     1103\end_layout
     1104
     1105\end_inset
     1106</cell>
     1107<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1108\begin_inset Text
     1109
     1110\begin_layout Plain Layout
     11114
     1112\end_layout
     1113
     1114\end_inset
     1115</cell>
     1116</row>
     1117<row>
     1118<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1119\begin_inset Text
     1120
     1121\begin_layout Plain Layout
     11223
     1123\end_layout
     1124
     1125\end_inset
     1126</cell>
     1127<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1128\begin_inset Text
     1129
     1130\begin_layout Plain Layout
     11312
     1132\end_layout
     1133
     1134\end_inset
     1135</cell>
     1136<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1137\begin_inset Text
     1138
     1139\begin_layout Plain Layout
     1140\begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2},x_{2}x_{3},x_{3}^{2}$
     1141\end_inset
     1142
     1143
     1144\end_layout
     1145
     1146\end_inset
     1147</cell>
     1148<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1149\begin_inset Text
     1150
     1151\begin_layout Plain Layout
     11529
     1153\end_layout
     1154
     1155\end_inset
     1156</cell>
     1157</row>
     1158</lyxtabular>
     1159
     1160\end_inset
     1161
     1162
     1163\begin_inset Caption
     1164
     1165\begin_layout Plain Layout
     1166Dimensión de la base polinómica
     1167\end_layout
     1168
     1169\end_inset
     1170
     1171
     1172\end_layout
     1173
     1174\end_inset
     1175
     1176
     1177\end_layout
     1178
     1179\begin_layout Standard
     1180Si se puede presumir algun tipo de periodicidad o pseudo-periodicidad en
     1181 la función objetivo, entonces sería mejor usar una base de Fourier.
     1182 Si se observan hay grandes saltos en poco espacio se pueden añadir componentes
     1183 exponenciales.
     1184 Por supuesto se pueden combinar cualesquiera de los antedichos o bien otros
     1185 tipos de función, con la única condición de que sean linealmente independientes.
     1186\end_layout
     1187
     1188\begin_layout Standard
     1189La dimensión
     1190\begin_inset Formula $K$
     1191\end_inset
     1192
     1193 adecuada para la base de funciones de aproximación local dependerá de la
     1194 dimensión del espacio y de lo suave o rugosa que sea la función.
     1195 Si
     1196\begin_inset Formula $K$
     1197\end_inset
     1198
     1199 empieza a no ser muy pequeño puede ser conveniente ortogonalizar la base
     1200 aplicando la misma técnica del punto anterior a la matriz
     1201\begin_inset Formula \begin{equation}
     1202X_{\mathcal{P}}=\left(\begin{array}{ccc}
     1203p_{1}\left(x_{1}\right) & \cdots & p_{K}\left(x_{1}\right)\\
     1204\vdots & \vdots & \vdots\\
     1205p_{1}\left(x_{J}\right) & \cdots & p_{K}\left(x_{J}\right)\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{J\times K}\end{equation}
     1206
     1207\end_inset
     1208
     1209
     1210\end_layout
     1211
     1212\begin_layout Subsection
     1213Función de ponderación y geometría de los entornos locales
     1214\end_layout
     1215
     1216\begin_layout Standard
     1217A continuación se va a construir una función de ponderación con las característi
     1218cas especificadas anteriormente.
     1219 En primer lugar se describirá una función de partida
     1220\begin_inset Formula $\gamma$
     1221\end_inset
     1222
     1223 en el caso unidimensional que opera sobre entornos locales en forma de
     1224 intervalo cerrado
     1225\begin_inset Formula $\left[-1,1\right]$
     1226\end_inset
     1227
     1228, la cual se extenderá al caso multivariante por rotación y escalado, lo
     1229 cual implica entornos locales hiperesféricos de radio arbitrario.
     1230\end_layout
     1231
     1232\begin_layout Standard
     1233Sea la función real escalar continua y doblemente diferenciale en todo
     1234\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
     1235\end_inset
     1236
     1237 
     1238\begin_inset Formula \begin{equation}
     1239\gamma\left(\tau\right)=\begin{cases}
     1240\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tau\right)^{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tau\right)^{4} & \forall\tau\leq1\\
     12410 & \forall\tau>1\end{cases}\end{equation}
     1242
     1243\end_inset
     1244
     1245correspondiente a la función de densidad de la distribución beta
     1246\begin_inset Formula $\beta\left(4,4\right)$
     1247\end_inset
     1248
     1249 transportada al intervalo
     1250\begin_inset Formula $\left[-1,1\right]$
     1251\end_inset
     1252
     1253 y extendida con ceros en el resto de
     1254\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
     1255\end_inset
     1256
     1257
     1258\end_layout
     1259
     1260\begin_layout Standard
     1261\begin_inset Float figure
     1262placement H
     1263wide false
     1264sideways false
     1265status open
     1266
     1267\begin_layout Plain Layout
     1268\begin_inset Caption
     1269
     1270\begin_layout Plain Layout
     1271\begin_inset Graphics
     1272        filename img/lambda_tao.PNG
     1273        scale 40
     1274
     1275\end_inset
     1276
     1277
     1278\end_layout
     1279
     1280\end_inset
     1281
     1282
     1283\end_layout
     1284
     1285\end_inset
     1286
     1287
     1288\end_layout
     1289
     1290\begin_layout Standard
     1291Sus derivadas primera y segunda existen y son continuas en todo
     1292\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
     1293\end_inset
     1294
     1295 
     1296\begin_inset Formula \begin{equation}
     1297\gamma'=\begin{cases}
     1298\frac{1}{32}\tau\left(\tau^{2}-1\right)^{3} & \forall\tau\leq1\\
     12990 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation}
     1300
     1301\end_inset
     1302
     1303
     1304\end_layout
     1305
     1306\begin_layout Standard
     1307\begin_inset Float figure
     1308placement H
     1309wide false
     1310sideways false
     1311status open
     1312
     1313\begin_layout Plain Layout
     1314\begin_inset Caption
     1315
     1316\begin_layout Plain Layout
     1317\begin_inset Graphics
     1318        filename img/lambda_tao_d1.PNG
     1319        scale 40
     1320
     1321\end_inset
     1322
     1323
     1324\end_layout
     1325
     1326\end_inset
     1327
     1328
     1329\end_layout
     1330
     1331\end_inset
     1332
     1333
     1334\end_layout
     1335
     1336\begin_layout Standard
     1337\begin_inset Formula \begin{equation}
     1338\gamma''=\begin{cases}
     1339\frac{1}{32}\left(\tau^{2}-1\right)^{2}\left(7\tau^{2}-1\right) & \forall\tau\leq1\\
     13400 & \forall\tau>1\end{cases}\end{equation}
     1341
     1342\end_inset
     1343
     1344
     1345\end_layout
     1346
     1347\begin_layout Standard
     1348\begin_inset Float figure
     1349placement H
     1350wide false
     1351sideways false
     1352status open
     1353
     1354\begin_layout Plain Layout
     1355\begin_inset Caption
     1356
     1357\begin_layout Plain Layout
     1358\begin_inset Graphics
     1359        filename img/lambda_tao_d2.PNG
     1360        scale 40
     1361
     1362\end_inset
     1363
     1364
     1365\end_layout
     1366
     1367\end_inset
     1368
     1369
     1370\end_layout
     1371
     1372\end_inset
     1373
     1374
     1375\end_layout
     1376
     1377\begin_layout Standard
     1378A continuación se describirá la extrapolación de estos resultados al caso
     1379 
     1380\begin_inset Formula $n$
     1381\end_inset
     1382
     1383-dimensional.
     1384 Sólo es necesario tener en cuenta que un intervalo en la recta real no
     1385 deja de ser una hiperesfera de dimensión uno y, además, al estar ortonormalizad
     1386o el problema la geometría de los entornos hiperesféricos no penaliza ni
     1387 favorece ninguna dirección en particular.
     1388 Si los entornos locales se definen como hiperesferas de radio
     1389\begin_inset Formula $\delta_{h}$
     1390\end_inset
     1391
     1392 centrados en el punto de referencia
     1393\begin_inset Formula $y_{h}$
     1394\end_inset
     1395
     1396
     1397\begin_inset Formula \begin{equation}
     1398\begin{array}{c}
     1399x\in\Omega_{h}\Longleftrightarrow\tau_{h}\left(x\right)=\frac{1}{\delta_{h}}\left\Vert x-y_{h}\right\Vert _{2}\leq1\end{array}\end{equation}
     1400
     1401\end_inset
     1402
     1403entonces es posible definir por rotación la siguiente
     1404\emph on
     1405función de cercanía local
     1406\emph default
     1407 
     1408\begin_inset Formula \begin{equation}
     1409\lambda_{h}\left(x\right)=\gamma\left(\tau_{h}\left(x\right)\right)=\begin{cases}
     1410\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tau_{h}\left(x\right)\right)^{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tau_{h}\left(x\right)\right)^{4} & \forall x\in\Omega_{h}\\
     14110 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation}
     1412
     1413\end_inset
     1414
     1415
     1416\end_layout
     1417
     1418\begin_layout Standard
     1419Esta función es continua y doblemente diferenciable, y es no negativa en
     1420 el entorno local y nula fuera de él y tiene un único máximo en el punto
     1421 de referencia
     1422\begin_inset Formula \begin{equation}
     1423\begin{array}{c}
     1424\lambda_{h}\left(x\right)\geq0\forall x\in\Omega_{h}\\
     1425\lambda_{h}\left(x\right)=0\forall x\notin\Omega_{h}\\
     1426\lambda_{h}\left(x\right)<\lambda_{h}\left(y_{h}\right)\forall x\neq y_{h}\end{array}\end{equation}
     1427
     1428\end_inset
     1429
     1430Resulta evidente que las siguientes funciones cumplen todas las condiciones
     1431 de las funciones de ponderación
     1432\end_layout
     1433
     1434\begin_layout Standard
     1435\begin_inset Formula \begin{equation}
     1436w_{h}\left(x\right)=\begin{cases}
     1437\frac{\lambda_{h}\left(x\right)}{\overset{}{\underset{x\in\Omega_{s}}{\sum}}\lambda_{s}\left(x\right)} & \forall x\in\Omega_{h}\\
     14380 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation}
     1439
     1440\end_inset
     1441
     1442
     1443\end_layout
     1444
     1445\begin_layout Standard
     1446Todo lo anterior seguiría siendo cierto partiendo de cualquier distribución
     1447 beta simétrica de orden entero mayor o igual que 4 pero no con orden 3
     1448 pues en ese caso la segunda derivada no sería continua en la frontera.
     1449 En la gráfica siguiente se muestra cómo la función de cercanía se hace
     1450 más concentrada en el punto de referencia cuanto más grande es el orden
     1451 de la beta simétrica.
     1452\end_layout
     1453
     1454\begin_layout Standard
     1455\begin_inset Float figure
     1456placement H
     1457wide false
     1458sideways false
     1459status open
     1460
     1461\begin_layout Plain Layout
     1462\begin_inset Caption
     1463
     1464\begin_layout Plain Layout
     1465\begin_inset Graphics
     1466        filename img/sample_1_beta_order.PNG
     1467        scale 40
     1468
     1469\end_inset
     1470
     1471
     1472\end_layout
     1473
     1474\end_inset
     1475
     1476
     1477\end_layout
     1478
     1479\end_inset
     1480
     1481
     1482\end_layout
     1483
     1484\begin_layout Standard
     1485A continuación se ilustrará lo anterior con un ejemplo unidimensional con
     1486 tres puntos de referencia y base polinómica de grado 2 y se supondrá que
     1487 ya se ha efectuado la estimación de la regresión lineal.
     1488\end_layout
     1489
     1490\begin_layout Standard
     1491\begin_inset Float table
     1492placement H
     1493wide false
     1494sideways false
     1495status open
     1496
     1497\begin_layout Plain Layout
     1498\begin_inset Tabular
     1499<lyxtabular version="3" rows="4" columns="4">
     1500<features>
     1501<column alignment="center" valignment="top" width="0">
     1502<column alignment="center" valignment="top" width="0">
     1503<column alignment="center" valignment="top" width="0">
     1504<column alignment="center" valignment="top" width="0">
     1505<row>
     1506<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1507\begin_inset Text
     1508
     1509\begin_layout Plain Layout
     1510\begin_inset Formula $h$
     1511\end_inset
     1512
     1513
     1514\end_layout
     1515
     1516\end_inset
     1517</cell>
     1518<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
     1519\begin_inset Text
     1520
     1521\begin_layout Plain Layout
     1522\begin_inset Formula $y_{h}$
     1523\end_inset
     1524
     1525
     1526\end_layout
     1527
     1528\end_inset
     1529</cell>
     1530<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1531\begin_inset Text
     1532
     1533\begin_layout Plain Layout
     1534\begin_inset Formula $\delta_{h}$
     1535\end_inset
     1536
     1537
     1538\end_layout
     1539
     1540\end_inset
     1541</cell>
     1542<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
     1543\begin_inset Text
     1544
     1545\begin_layout Plain Layout
     1546\begin_inset Formula $g_{h}\left(x\right)$
     1547\end_inset
     1548
     1549
     1550\end_layout
     1551
     1552\end_inset
     1553</cell>
     1554</row>
     1555<row>
     1556<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1557\begin_inset Text
     1558
     1559\begin_layout Plain Layout
     1560\begin_inset Formula $1$
     1561\end_inset
     1562
     1563
     1564\end_layout
     1565
     1566\end_inset
     1567</cell>
     1568<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
     1569\begin_inset Text
     1570
     1571\begin_layout Plain Layout
     1572\begin_inset Formula $-3$
     1573\end_inset
     1574
     1575
     1576\end_layout
     1577
     1578\end_inset
     1579</cell>
     1580<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1581\begin_inset Text
     1582
     1583\begin_layout Plain Layout
     1584\begin_inset Formula $6$
     1585\end_inset
     1586
     1587
     1588\end_layout
     1589
     1590\end_inset
     1591</cell>
     1592<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
     1593\begin_inset Text
     1594
     1595\begin_layout Plain Layout
     1596\begin_inset Formula $1+2(x-y_{1})-(x-y_{1})^{2}$
     1597\end_inset
     1598
     1599
     1600\end_layout
     1601
     1602\end_inset
     1603</cell>
     1604</row>
     1605<row>
     1606<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1607\begin_inset Text
     1608
     1609\begin_layout Plain Layout
     1610\begin_inset Formula $2$
     1611\end_inset
     1612
     1613
     1614\end_layout
     1615
     1616\end_inset
     1617</cell>
     1618<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
     1619\begin_inset Text
     1620
     1621\begin_layout Plain Layout
     1622\begin_inset Formula $1$
     1623\end_inset
     1624
     1625
     1626\end_layout
     1627
     1628\end_inset
     1629</cell>
     1630<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1631\begin_inset Text
     1632
     1633\begin_layout Plain Layout
     1634\begin_inset Formula $3.5$
     1635\end_inset
     1636
     1637
     1638\end_layout
     1639
     1640\end_inset
     1641</cell>
     1642<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
     1643\begin_inset Text
     1644
     1645\begin_layout Plain Layout
     1646\begin_inset Formula $3-4(x-y_{2})+(x-y_{2})^{2}$
     1647\end_inset
     1648
     1649
     1650\end_layout
     1651
     1652\end_inset
     1653</cell>
     1654</row>
     1655<row>
     1656<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1657\begin_inset Text
     1658
     1659\begin_layout Plain Layout
     1660\begin_inset Formula $3$
     1661\end_inset
     1662
     1663
     1664\end_layout
     1665
     1666\end_inset
     1667</cell>
     1668<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
     1669\begin_inset Text
     1670
     1671\begin_layout Plain Layout
     1672\begin_inset Formula $5$
     1673\end_inset
     1674
     1675
     1676\end_layout
     1677
     1678\end_inset
     1679</cell>
     1680<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
     1681\begin_inset Text
     1682
     1683\begin_layout Plain Layout
     1684\begin_inset Formula $5$
     1685\end_inset
     1686
     1687
     1688\end_layout
     1689
     1690\end_inset
     1691</cell>
     1692<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
     1693\begin_inset Text
     1694
     1695\begin_layout Plain Layout
     1696\begin_inset Formula $-5+6(x-y_{3})+2(x-y_{3})^{2}$
     1697\end_inset
     1698
     1699
     1700\end_layout
     1701
     1702\end_inset
     1703</cell>
     1704</row>
     1705</lyxtabular>
     1706
     1707\end_inset
     1708
     1709
     1710\begin_inset Caption
     1711
     1712\begin_layout Plain Layout
     1713Datos del ejemplo 1
     1714\end_layout
     1715
     1716\end_inset
     1717
     1718
     1719\end_layout
     1720
     1721\end_inset
     1722
     1723
     1724\end_layout
     1725
     1726\begin_layout Standard
     1727\begin_inset Float figure
     1728placement H
     1729wide false
     1730sideways false
     1731status open
     1732
     1733\begin_layout Plain Layout
     1734\begin_inset Caption
     1735
     1736\begin_layout Plain Layout
     1737\begin_inset Graphics
     1738        filename img/sample_1_lambda.PNG
     1739        scale 40
     1740
     1741\end_inset
     1742
     1743
     1744\end_layout
     1745
     1746\end_inset
     1747
     1748Funciones de cercanía local
     1749\end_layout
     1750
     1751\end_inset
     1752
     1753
     1754\end_layout
     1755
     1756\begin_layout Standard
     1757\begin_inset Float figure
     1758placement H
     1759wide false
     1760sideways false
     1761status open
     1762
     1763\begin_layout Plain Layout
     1764\begin_inset Caption
     1765
     1766\begin_layout Plain Layout
     1767\begin_inset Graphics
     1768        filename img/sample_1_lambda_sum.PNG
     1769        scale 50
     1770
     1771\end_inset
     1772
     1773
     1774\end_layout
     1775
     1776\end_inset
     1777
     1778Sumatorio global de las funciones de cercanía
     1779\end_layout
     1780
     1781\end_inset
     1782
     1783
     1784\end_layout
     1785
     1786\begin_layout Standard
     1787\begin_inset Float figure
     1788placement H
     1789wide false
     1790sideways false
     1791status open
     1792
     1793\begin_layout Plain Layout
     1794\begin_inset Caption
     1795
     1796\begin_layout Plain Layout
     1797\begin_inset Graphics
     1798        filename img/sample_1_weight.PNG
     1799        scale 40
     1800
     1801\end_inset
     1802
     1803
     1804\end_layout
     1805
     1806\end_inset
     1807
     1808Funciones de ponderación
     1809\end_layout
     1810
     1811\end_inset
     1812
     1813
     1814\end_layout
     1815
     1816\begin_layout Standard
     1817\begin_inset Float figure
     1818placement H
     1819wide false
     1820sideways false
     1821status open
     1822
     1823\begin_layout Plain Layout
     1824\begin_inset Caption
     1825
     1826\begin_layout Plain Layout
     1827\begin_inset Graphics
     1828        filename img/sample_1_local_aprox.PNG
     1829        scale 40
     1830
     1831\end_inset
     1832
     1833
     1834\end_layout
     1835
     1836\end_inset
     1837
     1838Funciones de aproximación local
     1839\end_layout
     1840
     1841\end_inset
     1842
     1843
     1844\end_layout
     1845
     1846\begin_layout Standard
     1847\begin_inset Float figure
     1848placement H
     1849wide false
     1850sideways false
     1851status open
     1852
     1853\begin_layout Plain Layout
     1854\begin_inset Caption
     1855
     1856\begin_layout Plain Layout
     1857\begin_inset Graphics
     1858        filename img/sample_1_global_aprox.PNG
     1859        scale 40
     1860
     1861\end_inset
     1862
     1863
     1864\end_layout
     1865
     1866\end_inset
     1867
     1868Función de aproximación global
     1869\end_layout
     1870
     1871\end_inset
     1872
     1873
     1874\end_layout
     1875
     1876\begin_layout Subsection
     1877Diseño del recubrimiento
     1878\end_layout
     1879
     1880\begin_layout Standard
     1881Si se coloca un punto de referencia en cada punto nodal y no se usan puntos
     1882 de estrés entonces estaríamos ante el caso particular de aproximación de
     1883 funciones sin malla, aunque dado el sistema de estimación no aportaría
     1884 ninguna ganancia sino más bien al contrario: de una buena selección de
     1885 la malla puede depender la calidad y laeficiencia de la aproximación.
     1886\end_layout
     1887
     1888\begin_layout Standard
     1889Para que la regresión lineal no sea degenerada debe tener más ecuaciones
     1890 que variables
     1891\begin_inset Formula \begin{equation}
     1892J+T\geq\begin{array}{c}
     1893H\cdot K\end{array}\end{equation}
     1894
     1895\end_inset
     1896
     1897
     1898\end_layout
     1899
     1900\begin_layout Standard
     1901De hecho, para que se pueda hacer inferencia la superficie de contraste
     1902 ha de ser razonablemente grande
     1903\end_layout
     1904
     1905\begin_layout Standard
     1906\begin_inset Formula \begin{equation}
     1907SC=\begin{array}{c}
     1908\frac{J+T}{H\cdot K}\gg1\end{array}\end{equation}
     1909
     1910\end_inset
     1911
     1912
     1913\end_layout
     1914
     1915\begin_layout Standard
     1916Para aumentar la superficie de contraste sin rebajar el tamaño de la base
     1917 ni el número de puntos de referencia se deben añadir máspuntosde estrés.
     1918 En las intersecciones entre pares de entornos locales en los que haya algún
     1919 punto nodal lo más prudente sería que estos ejercieran a su vez de puntos
     1920 de estrés.
     1921 En aquellas en las que no los hubiera sería recomendable introducirlos
     1922 de forma artificial.
     1923\end_layout
     1924
     1925\begin_layout Standard
     1926Cuanto menos solapamiento haya entre las regiones de entorno local más dispersa
     1927 será la matriz de regresión y los cálculos podrán ejecutarse en menos tiempo,
     1928 pero menos suave será la transición entre ellos.
     1929\end_layout
     1930
     1931\begin_layout Standard
     1932Lo ideal sería que cada entorno de referencia encerrara aproximadamente
     1933 el mismo número de puntos nodales para que el contraste de sus parámetros
     1934 fuera del mismo rango para todos ellos.
     1935 Si los puntos nodales se hallan distribuidos más o menos uniformemente
     1936 la forma de malla regular es la manera más eficaz de colocar los puntos
     1937 de referencia y sus entornos para recubrir una región del espacio con el
     1938 mínimo solpamiento.
     1939\end_layout
     1940
     1941\begin_layout Standard
     1942\begin_inset Float figure
     1943placement H
     1944wide false
     1945sideways false
     1946status open
     1947
     1948\begin_layout Plain Layout
     1949\begin_inset Caption
     1950
     1951\begin_layout Plain Layout
     1952\begin_inset Graphics
     1953        filename img/local_environment_regular.PNG
     1954
     1955\end_inset
     1956
     1957
     1958\end_layout
     1959
     1960\end_inset
     1961
     1962Recubrimiento bidimensional regular
     1963\end_layout
     1964
     1965\end_inset
     1966
     1967
     1968\end_layout
     1969
     1970\begin_layout Standard
     1971Cuando la densidad de puntos nodales no es homogénea lo más prudente es
     1972 adaptar el recubrimiento a las circunstancias.
     1973 Resulta relativamente sencillo pasar de un recubrimiento de un radio dado
     1974 a otro de la mitad de radio de una forma bastante eficiente.
     1975\end_layout
     1976
     1977\begin_layout Standard
     1978\begin_inset Float figure
     1979placement H
     1980wide false
     1981sideways false
     1982status open
     1983
     1984\begin_layout Plain Layout
     1985\begin_inset Caption
     1986
     1987\begin_layout Plain Layout
     1988\begin_inset Graphics
     1989        filename img/local_environment_irregular.PNG
     1990
     1991\end_inset
     1992
     1993
     1994\end_layout
     1995
     1996\end_inset
     1997
     1998Recubrimiento bidimensional irregular
     1999\end_layout
     2000
     2001\end_inset
     2002
     2003
     2004\end_layout
     2005
     2006\begin_layout Standard
     2007Una forma alternativa y más sencilla de homogeneizar el recubrimiento es
     2008 aplicar una función continua y doblemente diferenciable de deformación
     2009 del espacio que convierta los puntos originales en puntos cuya distribución
     2010 sea aproximadamente uniforme
     2011\end_layout
     2012
     2013\begin_layout Standard
     2014\begin_inset Formula \begin{equation}
     2015\eta\left(x\right):\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}\end{equation}
     2016
     2017\end_inset
     2018
     2019
    20282020\end_layout
    20292021

  • tol_pkg/MulVarFunAprox/doc/MulVarFunAprox.nb

    r07d3b84 r074a354  
    4040(*NotebookFileLineBreakTest
    4141NotebookFileLineBreakTest*)
    42 (*NotebookOptionsPosition[    812831,      17205]*)
    43 (*NotebookOutlinePosition[    813485,      17228]*)
    44 (*  CellTagsIndexPosition[    813441,      17224]*)
     42(*NotebookOptionsPosition[    817374,      17268]*)
     43(*NotebookOutlinePosition[    818028,      17291]*)
     44(*  CellTagsIndexPosition[    817984,      17287]*)
    4545(*WindowFrame->Normal*)
    4646
    … …  
    37793779Cell[CellGroupData[{
    37803780
    3781 Cell[BoxData[{
    3782     \(z1n[t_,
    3783         n_] = \((\((1/2 - 1/2*t)\)^n)\)*\((\((1/2 + 1/2*t)\)^n)\)\), "\n",
    3784     \(zn[t_, n_] = If[Abs[t] > 1, 0, z1n[t, n]]\), "\n",
    3785     \(\(Plot[{zn[t, 4]/zn[0, 4], zn[t, 10]/zn[0, 10],
    3786           zn[t, 20]/zn[0, 20]}, {t, \(-1.2\), 1.2}, \
    3787         PlotStyle \[Rule] {Hue[0.1], Hue[0.6], Hue[0.8]},
    3788         TextStyle \[Rule] {FontSize \[Rule] 20}, PlotRange \[Rule] {0, 1}\ ,
    3789         PlotLegend \[Rule] {"\<\[Beta](4,4)\>", "\<\[Beta](10,10)\>", "\<\
    3790 \[Beta](20,20)\>"}, LegendPosition \[Rule] {\(-1\), 0}\ , \
    3791         LegendSize \[Rule] {1/2, 1/2}];\)\[IndentingNewLine]\)}], "Input"],
     3781Cell[BoxData[{\(z1n[t_,
     3782        n_] = \((\((1/2 - 1/2*t)\)^n)\)*\((\((1/2 + 1/2*t)\)^
     3783            n)\)\), "\n", \(zn[t_, n_] = If[Abs[t] > 1, 0, z1n[t, n]]\), "\n",
     3784   
     3785    RowBox[{
     3786      RowBox[{
     3787        RowBox[{"Plot", "[",
     3788         
     3789          RowBox[{\({zn[t, 4]/zn[0, 4], zn[t, 10]/zn[0, 10],
     3790              zn[t, 20]/zn[0, 20]}\), ",", \({t, \(-1.2\), 1.2}\), ",",
     3791            " ", \(PlotStyle \[Rule] {Hue[0.1], Hue[0.6], Hue[0.8]}\),
     3792            ",", \(TextStyle \[Rule] {FontSize \[Rule] 20}\),
     3793            ",", \(PlotRange \[Rule] {0, 1}\), " ",
     3794            ",", \(PlotLegend \[Rule] {"\<\[Beta](4,4)\>", \
     3795"\<\[Beta](10,10)\>", "\<\[Beta](20,20)\>"}\),
     3796            ",", \(LegendPosition \[Rule] {\(+0.5\), 0}\), " ", ",",
     3797            " ", \(LegendSize \[Rule] {1/2, 1/2}\), ",", " ",
     3798            FormBox[
     3799             
     3800              FormBox[\(LegendLabelSpace \[Rule]  .05; \
     3801                LegendSpacing\  \[Rule] \  .1\),
     3802                "TraditionalForm"],
     3803              "TraditionalForm"]}], "]"}], ";"}],
     3804      "\[IndentingNewLine]"}]}], "Input"],
    37923805
    37933806Cell[BoxData[
    … …  
    38003813%!
    38013814%%Creator: Mathematica
    3802 %%AspectRatio: .61803
     3815%%AspectRatio: .60296
    38033816MathPictureStart
    38043817/Mabs {
    … …  
    38153828/Courier findfont 10  scalefont  setfont
    38163829% Scaling calculations
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     3832[ 1 .60296 0 0 ]
    38203833] MathScale
    38213834% Start of Graphics
    … …  
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    38283841%% Graphics
    38293842%%IncludeResource: font Courier
    … …  
    49945007% End of sub-graphic
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    50095022[ ] 0 setdash
    5010 .02381 .30902 m
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    50155028s
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    … …  
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    … …  
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    … …  
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    50755088currentpoint translate
    … …  
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    … …  
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    51865199currentpoint translate
    … …  
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    52625275p
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    … …  
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    … …  
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    … …  
    53845397\
    53855398\>"], "Graphics",
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    5390 CF5dJ6E]HGAYHf4PAg9QL6QYHg<PAVmbKF5d0`4000:30001SB000`400?l00000o`00003oo`3ooooo
    5391 0?ooohD0oooo003o0?ooool0ooooQ@3oool00?l0ooooo`3ooon50?ooo`00o`3ooooo0?ooohD0oooo
    5392 003o0?ooool0ooooQ@3oool00?l0ooooo`3ooon50?ooo`00o`3ooooo0?ooohD0oooo003o0?ooool0
    5393 ooooQ@3oool00?l0ooooo`3ooon50?ooo`00o`3ooooo0?ooohD0oooo003o0?ooool0ooooQ@3oool0
    5394 0?l0ooooo`3ooon50?ooo`00o`3ooooo0?ooohD0oooo003o0?ooool0ooooQ@3oool00?l0ooooo`3o
    5395 oon50?ooo`00o`3ooooo0?ooohD0oooo003o0?ooool0ooooQ@3oool006d0oooo1`00001J0?ooo`@0
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    5397 0000IP3oool00700oooo00<000000?ooo`3oool0FP3oool00`000000oooo0?ooo`020?ooo`030000
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    5399 /@3oool00`000000oooo0?ooo`020?ooo`030000003oool0oooo00D0oooo0`0000080?ooo`030000
    5400 003oool0oooo0080oooo00<000000?ooo`3oool0F`3oool00`000000oooo0?ooo`1W0?ooo`00L03o
    5401 ool00`000000oooo0?ooo`1I0?ooo`030000003oool0oooo00<0oooo00<000000?ooo`3oool01@3o
    5402 ool3000000L0oooo00<000000?ooo`3oool0103oool00`000000oooo0?ooo`2_0?ooo`030000003o
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    5404 ool00`000000oooo0?ooo`1J0?ooo`030000003oool0oooo06L0oooo001`0?ooo`030000003oool0
    5405 oooo05T0oooo00<000000?ooo`3oool0103oool00`000000oooo0?ooo`0E0?ooo`030000003oool0
    5406 oooo0:l0oooo00<000000?ooo`3oool0103oool00`000000oooo0?ooo`0E0?ooo`030000003oool0
    5407 oooo05X0oooo00<000000?ooo`3oool0I`3oool005l0oooo200000090?ooo`030000003oool0oooo
    5408 04/0oooo200000060?ooo`030000003oool0oooo00@0oooo00<000000?ooo`3oool05@3oool00`00
    5409 0000oooo0?ooo`2_0?ooo`030000003oool0oooo00@0oooo00<000000?ooo`3oool05@3oool00`00
    5410 0000oooo0?ooo`1J0?ooo`030000003oool0oooo06L0oooo001`0?ooo`030000003oool0oooo05T0
    5411 oooo00<000000?ooo`3oool0103oool00`000000oooo0?ooo`0E0?ooo`030000003oool0oooo0:l0
    5412 oooo00<000000?ooo`3oool0103oool00`000000oooo0?ooo`0E0?ooo`030000003oool0oooo05X0
    5413 oooo00<000000?ooo`3oool0I`3oool00700oooo00<000000?ooo`3oool0F@3oool00`000000oooo
    5414 0?ooo`040?ooo`030000003oool0oooo00l0oooo0P0000030?ooo`030000003oool0oooo0;00oooo
    5415 00<000000?ooo`3oool0103oool00`000000oooo0?ooo`0?0?ooo`8000000`3oool00`000000oooo
    5416 0?ooo`1K0?ooo`030000003oool0oooo06L0oooo001`0?ooo`030000003oool0oooo05T0oooo00<0
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