#LyX 1.6.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 345 \begin_document \begin_header \textclass paper \begin_preamble \usepackage{a4wide} %\documentclass[spanish]{article} \usepackage{babel} \usepackage{a4wide} \usepackage{varioref} \usepackage{amssymb} \usepackage{latexsym} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{graphics} \usepackage{graphicx} \usepackage{ulem} \usepackage{color} \usepackage{multicol} \usepackage{longtable} %\usepackage{makeidx} \usepackage{hyperref} \makeindex \hypersetup{urlbordercolor=0 0 0,pdfborder=0 0 1 [3 2]} \end_preamble \use_default_options false \begin_modules theorems-ams \end_modules \language spanish \inputencoding auto \font_roman default \font_sans default \font_typewriter default \font_default_family default \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 \font_tt_scale 100 \graphics default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_amsmath 1 \use_esint 0 \cite_engine basic \use_bibtopic false \paperorientation portrait \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \defskip medskip \quotes_language english \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \author "" \author "" \end_header \begin_body \begin_layout Title Aproximación de funciones multivariantes mediante regresión lineal jerárquica \end_layout \begin_layout Author Víctor de Buen Remiro \end_layout \begin_layout Email vdebuen@tol-project.org \end_layout \begin_layout Abstract El enfoque usual de aproximación de funciones como un problema de mero cálculo numérico es reemplazado en este artículo por una visión estadística del problema que permite una formulación más robusta y un mecanismo más eficiente. \end_layout \begin_layout Abstract A semejanza de los métodos clásicos de interpolación y aproximación sin malla, la función de aproximación global se construirá como una combinación lineal convexa de funciones que aproximan localmente la función objetivo en entornos que recubren su dominio. Estas funciones de aproximación local son a su vez combinaciones lineales de unas pocas funciones básicas linealmente independientes. De este modo, para evaluar la función de aproximación global sólo será necesario localizar los entornos locales a los que pertenece y evaluar en ellos las funciones de aproximación local. \end_layout \begin_layout Abstract Se trabajará bajo la hipótesis de errores de aproximación normales independiente s y la existencia de relaciones latentes entre las funciones de aproximación local para construir un modelo de regresión lineal jerárquico con matriz de inputs muy dispersa y por lo tanto muy eficaz en cuanto a su estimación máximo-verosímil, todo ello sin necesidad de tener que aproximar cada zona por separado para tener luego que ensamblarlas ni reajustarlas. \end_layout \begin_layout Part* Aproximación de funciones multivariantes mediante regresión lineal jerárquica \end_layout \begin_layout Section Antecedentes \end_layout \begin_layout Standard Sea la \emph on función objetivo \emph default real continua y doblemente diferenciable en su dominio \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} f\left(x\right):\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\end{equation} \end_inset de la cual en principio se desconoce su formulación analítica y no se tiene ninguna otra forma de evaluarla o al menos no con la velocidad que se requiere. \end_layout \begin_layout Standard Sea una colección no vacía ordenada de \begin_inset Formula $J>0$ \end_inset puntos en una región \begin_inset Formula $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ \end_inset a los que llamaremos \emph on puntos nodales \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \mathcal{X}=\left\{ x_{j}\left|x_{j}\in\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\forall j=1\ldots J\right.\right\} \end{equation} \end_inset para los cuales se conoce el valor de la función objetivo \begin_inset Formula $f_{j}=f\left(x_{j}\right)$ \end_inset . La matriz \begin_inset Formula $X$ \end_inset cuyas filas son los puntos nodales debe ser de rango completo y se denominará \emph on matriz nodal \emph default del problema. Si nofuera así habría que reducir la dimensión del problema eliminando las dependencias linales. \end_layout \begin_layout Standard Se desea construir mediante un modelo de regresión lineal sparse con residuos normales independientes una \emph on función de aproximación global \emph default de \begin_inset Formula $f$ \end_inset que sea continua y doblemente diferenciable \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \widehat{f}\left(x\right):\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como introducción al estado del arte en el ataque clásico de la ingeniería mecánica acerca de los métodos de malla, y en especial de los de mínimos cuadrados móviles, sería interesente la lectura del artículo \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Meshless-methods-An-overview-and-recent-developments" \end_inset \end_layout \begin_layout Section Modelo lineal observacional puro \end_layout \begin_layout Standard Sea otra colección ordenada no vacía de \begin_inset Formula $H>0$ \end_inset puntos dentro de esa misma región convexa \begin_inset Formula $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ \end_inset a los que llamaremos \emph on puntos de referencia \emph default en los que el valor de la función objetivo puede ser conocido o no, es decir, un punto de referencia puede ser, o bien uno de los puntos nodales o bien otro punto cualquiera. Sean \begin_inset Formula $\Omega_{h}$ \end_inset \emph on regiones de entorno local \emph default de cada uno, tales que recubran entre todas la región \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \mathcal{Y}=\left\{ y_{h}\left|y_{h}\in\Omega_{h}\subset\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\forall h=1\ldots H\right.\right\} \\ \Omega\subset\overset{H}{\underset{h=1}{\bigcup}}\Omega_{h}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $\mathcal{P}$ \end_inset una colección no vacía ordenada de \begin_inset Formula $K>0$ \end_inset de funciones linealmente independientes continuas y doblemente diferenciables en todo \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset a las que llamaremos \emph on base de la aproximación local \emph default o simplemente base \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \mathcal{P}=\left\{ p_{k}\left(x\right):\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}\right\} \end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para cada punto de referencia se definirá una \emph on función de aproximación local \emph default como una combinación lineal de dicha base en su región correspondiente \begin_inset Formula \begin{equation} g_{h}\left(x\right)=\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}\alpha_{h,k}\cdot p_{k}\left(x-y_{h}\right)\forall x\in\Omega_{h}\wedge h=1\ldots H\end{equation} \end_inset por lo que es obvio que deben ser continuas y doblemente diferenciables en todo \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard La función de aproximación global en un punto se definirá a su vez como una combinación convexa de las funciones locales cuyos entornos contengan dicho punto \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \widehat{f}\left(x\right)=\overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}w_{h}\left(x\right)\cdot g_{h}\left(x\right)\forall x\in\mathbb{R}^{n}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard mediante unas \emph on funciónes de ponderación \emph default \begin_inset Formula $w_{h}\left(x\right)$ \end_inset que no dependen de ningún parámetro y deben ser continuas, doblemente diferenci ables en todo \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , alcanzar el máximo valor en el punto de referencia, y dar siempre suma \begin_inset Formula $1$ \end_inset al aplicarla a todos los entornos locales a los que pertenece un punto cualquiera \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} w_{h}\left(x\right)\geq0\forall\in\Omega_{h}\\ w_{h}\left(x\right)=0\forall\notin\Omega_{h}\\ w_{h}\left(x\right)\leq w_{h}\left(y_{h}\right)\forall x\in\mathbb{R}^{n}\\ \overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}w_{h}\left(x\right)=1\forall x\in\mathbb{R}^{n}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Se supondrá que el error de aproximación global sigue una distribución normal independiente de media nula y varianza desconocida común para todos los puntos de referencia \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \[ f\left(x\right)-\widehat{f}\left(x\right)=e\left(x\right)\sim N\left(0,\sigma^{2}\right)\forall x\in\Omega\] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} f\left(x\right)=\widehat{f}\left(x\right)+e\left(x\right)=\overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}w_{h}\left(x\right)\cdot g_{h}\left(x\right)+e\left(x\right)\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} f\left(x\right)=\overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}w_{h}\left(x\right)\cdot p_{k}\left(x-y_{h}\right)\cdot\alpha_{h,k}+e\left(x\right)\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Contrastando con los valores conocidos en los puntos nodales se reduce el problema de la aproximación a estimar la siguiente regresión lineal \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} F_{j}=\overset{}{\underset{x_{j}\in\Omega_{h}}{\sum}}\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}P_{h,k,j}\alpha_{h,k}\cdot+e_{j}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard donde \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} e_{j}=e\left(x_{j}\right)\sim N\left(0,\sigma^{2}\right)\\ F_{j}=f\left(x_{j}\right)\\ P_{h,k,j}=w_{h}\left(x_{j}\right)p_{k}\left(x_{j}-y_{h}\right)\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si definimos \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \beta_{i}=\alpha_{h,k}\\ Q_{i,j}=P_{h,k,j}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard es posible escribir la regresión en forma matricial \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} F=Q\cdot\beta+e\\ e\sim N\left(0,\sigma^{2}I_{J}\right)\\ F\in\mathbb{R}^{J}\\ \beta\in\mathbb{R}^{HK}\\ Q\in\mathbb{R}^{J\times HK}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como la matriz de input \begin_inset Formula $Q$ \end_inset es muy dispersa es relativamente poco costoso calcular su descomposición de Cholesky \begin_inset Formula \begin{equation} Q^{T}\cdot Q=L\cdot L^{T}\end{equation} \end_inset lo cual nos da un mecanismo de estimación máximo-verosimil bastante asequible de los parámetros del modelo \begin_inset Formula \begin{equation} \hat{\beta}=\left(Q^{T}\cdot Q\right)^{-1}Q\cdot F=L^{-T}L^{-1}Q\cdot F\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Por ejemplo, el paquete de software \begin_inset CommandInset href LatexCommand href name "CHOLMOD" target "http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/cholmod/" \end_inset es capaz de resolver este sistema lineal sin necesidad de efectuar el producto \begin_inset Formula $Q^{T}\cdot Q$ \end_inset y con mayor eficacia cuanto más dispersa sea la matriz. \end_layout \begin_layout Section Modelo jerárquico \end_layout \begin_layout Standard Para forzar que la función de aproximación global sea más suave es posible añadir más hipótesis al modelo que obliguen a las funciones de aproximación locales parecerse en cierta medida a sus vecinas en las zonas compartidas de sus entornos locales. Una hipótesis que parece bastante razonable es que en los puntos nodales comunes a varios entornos locales las diferencias entre las correspondientes aproximaciones locales siga una distribución normal similar a la de los errores de aproximación global, es decir \begin_inset Formula \[ g_{h}\left(x\right)-g_{s}\left(x\right)=e_{h,s}\left(x\right)\sim N\left(0,\sigma^{2}\right)\forall x\in\Omega_{h}\cap\Omega_{s}\] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si seleccionamos una nueva colección ordenada no vacía de puntos en la intersecc ión de dos entornos locales \begin_inset Formula $\Omega_{h}\cap\Omega_{s}$ \end_inset a los que llamaremos \emph on puntos de estrés \emph default en los que el valor de la función objetivo es puede ser conocido o no. \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \mathcal{Z}_{h,s}=\left\{ z_{h,s,t}\left|z_{h,s,t}\in\Omega_{h}\cap\Omega_{s}\subset\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\forall t=1\ldots T_{h,s}\right.\right\} \\ T=\overset{\Omega_{h}\cap\Omega_{s}\neq\emptyset}{\underset{h,s}{\sum}}T_{h,s}\end{array}\end{equation} \end_inset entonces podemos añadir a la matriz \begin_inset Formula $Q$ \end_inset las \begin_inset Formula $T$ \end_inset ecuaciones latentes al modelo definido anteriormente \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} 0=\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}p_{k}\left(z_{h,s,t}-y_{h}\right)\alpha_{h,k}\cdot-\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}p_{k}\left(z_{h,s,t}-y_{s}\right)\alpha_{s,k}\cdot+e_{h,s,j}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Section Diseño del modelo \end_layout \begin_layout Subsection Ortonormalización de la geometría del problema \end_layout \begin_layout Standard Si la matriz nodal \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de rango completo entonces existe un cambio de variable \begin_inset Formula $C\in\mathbb{R}^{n\times n}$ \end_inset tal que la nueva matriz nodal es ortonormal \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \dot{X}=X\cdot C\\ \dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=I\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Existen muchos métodos para calcular \begin_inset Formula $C$ \end_inset pero en principio la forma más eficaz es mediante la descomposición de Cholesky \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} X^{T}\cdot X=L\cdot L^{T}\\ C=L^{-T}\\ \dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=L^{-1}\cdot X^{T}\cdot X\cdot L^{-T}=L^{-1}\cdot L\cdot L^{T}\cdot L^{-T}=I\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si la matriz nodal es de rango \begin_inset Formula $r \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $n$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $r$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\mathcal{P}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $K$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\cdots$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,x_{1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{1}^{2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 6 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{3}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,x_{1},x_{2},x_{3},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2},x_{2}x_{3},x_{3}^{2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 9 \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Dimensión de la base polinómica \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si se puede presumir algun tipo de periodicidad o pseudo-periodicidad en la función objetivo, entonces sería mejor usar una base de Fourier. Si se observan hay grandes saltos en poco espacio se pueden añadir componentes exponenciales. Por supuesto se pueden combinar cualesquiera de los antedichos o bien otros tipos de función, con la única condición de que sean linealmente independientes. \end_layout \begin_layout Standard La dimensión \begin_inset Formula $K$ \end_inset adecuada para la base de funciones de aproximación local dependerá de la dimensión del espacio y de lo suave o rugosa que sea la función. Si \begin_inset Formula $K$ \end_inset empieza a no ser muy pequeño puede ser conveniente ortogonalizar la base aplicando la misma técnica del punto anterior a la matriz \begin_inset Formula \begin{equation} X_{\mathcal{P}}=\left(\begin{array}{ccc} p_{1}\left(x_{1}\right) & \cdots & p_{K}\left(x_{1}\right)\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ p_{1}\left(x_{J}\right) & \cdots & p_{K}\left(x_{J}\right)\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{J\times K}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Función de ponderación y geometría de los entornos locales \end_layout \begin_layout Standard A continuación se va a construir una función de ponderación con las característi cas especificadas anteriormente. En primer lugar se describirá una función de partida \begin_inset Formula $\gamma$ \end_inset en el caso unidimensional que opera sobre entornos locales en forma de intervalo cerrado \begin_inset Formula $\left[-1,1\right]$ \end_inset , la cual se extenderá al caso multivariante por rotación y escalado, lo cual implica entornos locales hiperesféricos de radio arbitrario. \end_layout \begin_layout Standard Sea la función real escalar continua y doblemente diferenciale en todo \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset \begin_inset Formula \begin{equation} \gamma\left(\tau\right)=\begin{cases} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tau\right)^{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tau\right)^{4} & \forall\tau\leq1\\ 0 & \forall\tau>1\end{cases}\end{equation} \end_inset correspondiente a la función de densidad de la distribución beta \begin_inset Formula $\beta\left(4,4\right)$ \end_inset transportada al intervalo \begin_inset Formula $\left[-1,1\right]$ \end_inset y extendida con ceros en el resto de \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/lambda_tao.PNG scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sus derivadas primera y segunda existen y son continuas en todo \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset \begin_inset Formula \begin{equation} \gamma'=\begin{cases} \frac{1}{32}\tau\left(\tau^{2}-1\right)^{3} & \forall\tau\leq1\\ 0 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/lambda_tao_d1.PNG scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \gamma''=\begin{cases} \frac{1}{32}\left(\tau^{2}-1\right)^{2}\left(7\tau^{2}-1\right) & \forall\tau\leq1\\ 0 & \forall\tau>1\end{cases}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/lambda_tao_d2.PNG scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard A continuación se describirá la extrapolación de estos resultados al caso \begin_inset Formula $n$ \end_inset -dimensional. Sólo es necesario tener en cuenta que un intervalo en la recta real no deja de ser una hiperesfera de dimensión uno y, además, al estar ortonormalizad o el problema la geometría de los entornos hiperesféricos no penaliza ni favorece ninguna dirección en particular. Si los entornos locales se definen como hiperesferas de radio \begin_inset Formula $\delta_{h}$ \end_inset centrados en el punto de referencia \begin_inset Formula $y_{h}$ \end_inset \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} x\in\Omega_{h}\Longleftrightarrow\tau_{h}\left(x\right)=\frac{1}{\delta_{h}}\left\Vert x-y_{h}\right\Vert _{2}\leq1\end{array}\end{equation} \end_inset entonces es posible definir por rotación la siguiente \emph on función de cercanía local \emph default \begin_inset Formula \begin{equation} \lambda_{h}\left(x\right)=\gamma\left(\tau_{h}\left(x\right)\right)=\begin{cases} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tau_{h}\left(x\right)\right)^{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tau_{h}\left(x\right)\right)^{4} & \forall x\in\Omega_{h}\\ 0 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Esta función es continua y doblemente diferenciable, y es no negativa en el entorno local y nula fuera de él y tiene un único máximo en el punto de referencia \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \lambda_{h}\left(x\right)\geq0\forall x\in\Omega_{h}\\ \lambda_{h}\left(x\right)=0\forall x\notin\Omega_{h}\\ \lambda_{h}\left(x\right)<\lambda_{h}\left(y_{h}\right)\forall x\neq y_{h}\end{array}\end{equation} \end_inset Resulta evidente que las siguientes funciones cumplen todas las condiciones de las funciones de ponderación \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} w_{h}\left(x\right)=\begin{cases} \frac{\lambda_{h}\left(x\right)}{\overset{}{\underset{x\in\Omega_{s}}{\sum}}\lambda_{s}\left(x\right)} & \forall x\in\Omega_{h}\\ 0 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Todo lo anterior seguiría siendo cierto partiendo de cualquier distribución beta simétrica de orden entero mayor o igual que 4 pero no con orden 3 pues en ese caso la segunda derivada no sería continua en la frontera. En la gráfica siguiente se muestra cómo la función de cercanía se hace más concentrada en el punto de referencia cuanto más grande es el orden de la beta simétrica. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/sample_1_beta_order.PNG scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard A continuación se ilustrará lo anterior con un ejemplo unidimensional con tres puntos de referencia y base polinómica de grado 2 y se supondrá que ya se ha efectuado la estimación de la regresión lineal. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float table placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $h$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $y_{h}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\delta_{h}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $g_{h}\left(x\right)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $-3$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $6$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1+2(x-y_{1})-(x-y_{1})^{2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $3.5$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $3-4(x-y_{2})+(x-y_{2})^{2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $3$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $5$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $5$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $-5+6(x-y_{3})+2(x-y_{3})^{2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Datos del ejemplo 1 \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/sample_1_lambda.PNG scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset Funciones de cercanía local \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/sample_1_lambda_sum.PNG scale 50 \end_inset \end_layout \end_inset Sumatorio global de las funciones de cercanía \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/sample_1_weight.PNG scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset Funciones de ponderación \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/sample_1_local_aprox.PNG scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset Funciones de aproximación local \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/sample_1_global_aprox.PNG scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset Función de aproximación global \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Diseño del recubrimiento \end_layout \begin_layout Standard Si se coloca un punto de referencia en cada punto nodal y no se usan puntos de estrés entonces estaríamos ante el caso particular de aproximación de funciones sin malla, aunque dado el sistema de estimación no aportaría ninguna ganancia sino más bien al contrario: de una buena selección de la malla puede depender la calidad y laeficiencia de la aproximación. \end_layout \begin_layout Standard Para que la regresión lineal no sea degenerada debe tener más ecuaciones que variables \begin_inset Formula \begin{equation} J+T\geq\begin{array}{c} H\cdot K\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard De hecho, para que se pueda hacer inferencia la superficie de contraste ha de ser razonablemente grande \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} SC=\begin{array}{c} \frac{J+T}{H\cdot K}\gg1\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para aumentar la superficie de contraste sin rebajar el tamaño de la base ni el número de puntos de referencia se deben añadir máspuntosde estrés. En las intersecciones entre pares de entornos locales en los que haya algún punto nodal lo más prudente sería que estos ejercieran a su vez de puntos de estrés. En aquellas en las que no los hubiera sería recomendable introducirlos de forma artificial. \end_layout \begin_layout Standard Cuanto menos solapamiento haya entre las regiones de entorno local más dispersa será la matriz de regresión y los cálculos podrán ejecutarse en menos tiempo, pero menos suave será la transición entre ellos. \end_layout \begin_layout Standard Lo ideal sería que cada entorno de referencia encerrara aproximadamente el mismo número de puntos nodales para que el contraste de sus parámetros fuera del mismo rango para todos ellos. Si los puntos nodales se hallan distribuidos más o menos uniformemente la forma de malla regular es la manera más eficaz de colocar los puntos de referencia y sus entornos para recubrir una región del espacio con el mínimo solpamiento. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/local_environment_regular.PNG \end_inset \end_layout \end_inset Recubrimiento bidimensional regular \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Cuando la densidad de puntos nodales no es homogénea lo más prudente es adaptar el recubrimiento a las circunstancias. Resulta relativamente sencillo pasar de un recubrimiento de un radio dado a otro de la mitad de radio de una forma bastante eficiente. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename img/local_environment_irregular.PNG \end_inset \end_layout \end_inset Recubrimiento bidimensional irregular \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Una forma alternativa y más sencilla de homogeneizar el recubrimiento es aplicar una función continua y doblemente diferenciable de deformación del espacio que convierta los puntos originales en puntos cuya distribución sea aproximadamente uniforme \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \eta\left(x\right):\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Section Estimación adaptativa \end_layout \begin_layout Standard El diseño de un modelo puede ser globalmente aceptable y sin embargo acumular en alguna zona concreta demasiados residuos altos. También puede ocurrir que con el tiempo se vaya disponiendo de nuevos datos que produzcan esos residuos inesperados, o que simplemente caigan fuera del alcance del recubrimiento actual. En ambos casos podría ser necesario introducir más puntos de referencia y de estrés por las proximidades. Si lo que ocurre es que la aproximación no consigue adpatarse a la curvatura aparente de los datos podría ser que hubiera que aumentar el tamaño de la base. \end_layout \begin_layout Standard Cuando las dimensiones de la regresión son pequeñas se podría readaptar el diseño sin más y volver a estimarla desde cero, pero en los casos de datos masivos eso puede tener un coste difícil de asumir. En estos casos se puede aplicar un conocido mecanismo de ampliación matricial sobre el algoritmo de Cholesky. \end_layout \begin_layout Standard Supongamos que tenemos el problema original resuelto para una matriz de input \begin_inset Formula $Q_{11}$ \end_inset de \begin_inset Formula $J_{1}+T_{1}$ \end_inset ecuaciones y \begin_inset Formula $H_{1}\cdot K_{1}$ \end_inset variables y un output \begin_inset Formula $F_{1}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} Q_{11}^{T}\cdot Q_{11}=L_{0}\cdot L_{0}^{T}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \hat{\beta}_{0}=L_{1}^{-T}L_{1}^{-1}Q_{1}\cdot F_{1}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Por las razones antedichas tenemos que añadir un número notablemente inferior \begin_inset Formula $J_{2}+T_{2}$ \end_inset de ecuaciones y de \begin_inset Formula $H_{2}\cdot K_{2}$ \end_inset variables nuevas para formar las nuevas matrices \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} Q=\left(\begin{array}{cc} Q_{11} & Q_{12}\\ Q_{21} & Q_{22}\end{array}\right)\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} F=\left(\begin{array}{c} F_{1}\\ F_{2}\end{array}\right)\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Desarrollando el producto por bloques \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} Q^{T}\cdot Q=\left(\begin{array}{cc} Q_{11}^{T} & Q_{21}^{T}\\ Q_{12}^{T} & Q_{22}^{T}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} Q_{11} & Q_{12}\\ Q_{21} & Q_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} Q_{11}^{T}\cdot Q_{11}+Q_{21}^{T}\cdot Q_{21} & Q_{11}^{T}\cdot Q_{12}+Q_{21}^{T}\cdot Q_{22}\\ Q_{12}^{T}\cdot Q_{11}+Q_{22}^{T}\cdot Q_{21} & Q_{12}^{T}\cdot Q_{12}+Q_{22}^{T}\cdot Q_{22}\end{array}\right)\end{equation} \end_inset y haciendo lo propio con la descomposición de Cholesky \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} Q^{T}\cdot Q=LL^{T}=\left(\begin{array}{cc} L_{11} & 0\\ L_{21} & L_{22}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} L_{11}^{T} & L_{21}^{T}\\ 0 & L_{22}^{T}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} L_{11}\cdot L_{11}^{T} & L_{11}\cdot L_{21}^{T}\\ L_{21}\cdot L_{11}^{T} & L_{21}\cdot L_{21}^{T}+L_{22}\cdot L_{22}^{T}\end{array}\right)\end{equation} \end_inset se obtienen las igualdades bloque a bloque \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} L_{11}\cdot L_{11}^{T}=L_{0}\cdot L_{0}^{T}+Q_{21}^{T}\cdot Q_{21}\\ L_{21}\cdot L_{11}^{T}=Q_{12}^{T}\cdot Q_{11}+Q_{22}^{T}\cdot Q_{21}\\ L_{21}\cdot L_{21}^{T}+L_{22}\cdot L_{22}^{T}=Q_{12}^{T}\cdot Q_{12}+Q_{22}^{T}\cdot Q_{22}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard La primera ecuación de bloque es la que concentra el mayor peso del problema pero en realidad está ya casi resuelta pues el término \begin_inset Formula $Q_{21}^{T}\cdot Q_{21}$ \end_inset es apenas una pequeña alteración de \begin_inset Formula $L_{0}\cdot L_{0}^{T}$ \end_inset que es facilmente soluble tal y como se explica en \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Modifying-Sparse-Cholesky-factorization,Multiple-rank-modifications-of-a-sparse-Cholesky-factorization" \end_inset . Las otras dos ecuaciones de bloque tienen poco coste computacional por ser de pequeño tamaño y su efecto se reduce a añadir nuevas filas a la matriz triangular según se expone en \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Row-modifications-of-a-sparse-Cholesky-factorization" \end_inset . \end_layout \begin_layout Part* Bibliografía \end_layout \begin_layout Bibliography \begin_inset CommandInset bibitem LatexCommand bibitem label "1" key "Modifying-Sparse-Cholesky-factorization" \end_inset Modifying a Sparse Cholesky factorization. T. A. Davis, J. R. Gilbert, S. I. Larimore, and E. G. Ng. SIAM J. Matrix Anal. Applic. 20(3):606–627, 1999. \end_layout \begin_layout Bibliography \begin_inset CommandInset bibitem LatexCommand bibitem label "2" key "Multiple-rank-modifications-of-a-sparse-Cholesky-factorization" \end_inset Multiple-rank modifications of a sparse Cholesky factorization. T. A. Davis and W. W. Hager. SIAM J. Matrix Anal. Applic., 22(4):997–1013, 2001. \end_layout \begin_layout Bibliography \begin_inset CommandInset bibitem LatexCommand bibitem label "3" key "Row-modifications-of-a-sparse-Cholesky-factorization" \end_inset Row modifications of a sparse Cholesky factorization.SIAM J. Matrix Anal. Applic. 26(3):621–639, 2005. \end_layout \begin_layout Bibliography \begin_inset CommandInset bibitem LatexCommand bibitem label "4" key "Meshless-methods-An-overview-and-recent-developments" \end_inset Meshless methods: An overview and recent developments. T. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ , M. Fleming and P. Krysl. \begin_inset CommandInset href LatexCommand href name "doi:10.1016/S0045-7825(96)01078-X" target "http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7825(96)01078-X" \end_inset \end_layout \end_body \end_document