source: tol/doc/modeling/BVAR/ideas.txt

En este directorio se documentan las herramientas de modelacion de
modelos BVARX basados en BSR.

El modelo VAR es:

 (1-A1*B-A2*B^2-...-Ap*B^p):Y_t = V_t, V_t ~ N(0,S)

donde:

 tra(Y_t) = ( y_1t, y_2t, ..., y_nt ) es un vector de series
 temporales.

 Ai es una matriz nxn de coeficientes.

 S es una matriz de covarianzas contemporaneas.

Queremos simular los parametros del modelo anterior haciendo uso de la
maquinaria de BSR pero para eso debemos reescribirlo en una forma en
que los errores sean independientes entre si.

Sabemos que S = L * D * tra(L), donde:

 L es una matriz tringular inferior unitaria

 D es una matriz diagonal positiva

si premultiplicamos por iL = inv(L) la ecuación (?) obtenemos:

(iL - C1*B-C2*B^2-...-Cp*B^p):Yt = E_t, E_t ~ N(0,D)

donde:

  iL = inv( I + L0 ), L0 es una matriz triangular inferior con
  diagonal nula

  I es la matriz identidad nxn

  L0 es una matriz triangular inferior con diagonal nula

  Ci = iL*Ai

iL es tambien una matriz triangular inferior unitaria, luego

iL = I + T, donde T es triangular inferior nula

de esta forma podemos reescribir la ecuacion (?) como

  (I+T)*Y_t = C1*Y(t-1) + C2*Y(t-2) + ... + Cp*Y(t-p) + E_t

de donde

  Y_t = T0*Y_t + C1*Y(t-1) + C2*Y(t-2) + ... + Cp*Y(t-p) + E_t

dado que T0=-T es triangular nula tenemos que cada serie temporal y_it
depende, en el instante t, del conjunto de series {y_1t,...,y_(i-1)t}
de forma tal que tenemos una expresión para cada output que depende
linealmente de algunos output's contemporáneos distintos de el mismo y
de todos los output's retardados desde el orden 1 hasta p con errores
independientes y sigma desconocida.

En estas condiciones el sistema de outputs es expresable en BSR. El
resultado de la simulacion es una muestra de las matrices

  T0, C1, ..., Cp y D.

La simulacion de la distribucion predictiva de Y_t requiere de un
metodo ad-hoc que itere en orden la distribucion predictiva de los
outputs y_it segun la estructura de la matriz T.

Por otra parte los coeficientes matriciales originales y la matriz de
covarianza contemporanea pueden recuperarse de la siguiente forma:

 Ai = inv( I - T0 ) * Ci
 S = inv( I - T0 )* D * tra( inv( I - T0 ) )

siendo D la matriz de varianzas simuladas.

Nos queda por revisar la forma de los priors adecuados. Mientras tanto
la especificación de los prior debemos hacerla coeficiente a
coeficiente en las matrices Ci, T0 y D.

La inclusion de variables explicativas es inmediato.