source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_P1_S7_Diagnosis.lyx @ 6d1c7aa

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\lyxformat 276
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\author "" 
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\begin_layout Chapter
Diagnosis
\end_layout

\begin_layout Standard
Cuando ya se dispone de una cadena de Markov para un modelo comienza la
 etapa de diagnosis que certifique la calidad de los resultados obtenidos
 e informe de la potencia alcanzable por las ulteriores inferencias que
 se puedan extraer de él.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Convergencia"

\end_inset

Convergencia de la cadena de Markov
\end_layout

\begin_layout Standard
Lo primero que hay que comprobar antes de poder hacer ningún otro tipo de
 inferencia es que la cadena de Markov recién construida ha convergido a
 un punto La diagnosis de convergencia debe cerciorarse de que la etapa
 de simulaciones desechadas (burning) ha sido en efecto suficiente para
 asegurar la convergencia del paseo aleatorio hacia la distribución a posteriori.
 Se debe comprobar también que la secuencia simulada para cada parámetros
 no esté pobremente mezclada (poorly mixing) y que no exista una alta correlació
n en dicha secuencia.
 El paquete CODA de R dispone de métodos de diagnosis de convergencia como
 los de Geweke, Gelman & Rubin, Raftery & Lewis y otros que se describen
 en 
\begin_inset LatexCommand cite
key "CODA-Convergence-diagnosis-output-analysis"

\end_inset

.
 Los tests más confiables son los que, como el de Gelman & Rubin, toman
 dos o más cadenas creadas a partir de distintos valores iniciales, pero
 son también los más complicados de utilizar y pueden suponer un coste de
 simulación extra muy alto al multiplicar el burning así como una compleja
 logística informática de procesamiento.
 De los tests de una sola cadena el más completo es el de Raftery & Lewis
 pues da estimaciones bastante aceptables del burning y el thinning.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Significacion"

\end_inset

Significación de los parámetros
\end_layout

\begin_layout Standard
Un parámetro es necesario o significativo en un modelo si realmente el modelo
 con dicho parámetro es mejor que sin él.
 Hay por tanto tantas formas de definir la significación como de comparar
 la calidad de modelos.
 Por otra parte no parece muy eficiente estimar todos los modelos con y
 sin cada uno de los parámetros.
 La medida que se utiliza para medir esta significación es la probabilidad
 de que el parámetro sea cero.
 Cuando la distribución del parámetro es aproximadamente normal esta probabilida
d se puede medir como el p-value del clásico test de significación de la
 t-Student para una muestra.
 En el caso de BSR se tendrán parámetros cuya distribución marginal a posteriori
 sea normal o normal truncada para los parámetros lineales y de omitidos,
 chi cuadradas para la varianza y otras distribuciones de las que ni siquiera
 se tiene una representación analítica, como los parámetros ARMA y los de
 los filtros no lineales.
 Por esta razón se precisa un test de significación más general como es
 el 
\begin_inset LatexCommand htmlurl
name "One Sample Sign Test"
target "http://www.alglib.net/statistics/hypothesistesting/signtest.php"

\end_inset

 que es el de mayor potencia dentro de los tests no paramétricos válidos
 para cualquier distribución 
\begin_inset LatexCommand cite
key "Small-Sample-Power-of-the-One-Sample-Wilcoxon-Test-for-Non-Normal-Shift-Alternatives"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Correlación"

\end_inset

Alta correlación múltiple entre parámetros
\end_layout

\begin_layout Standard
Si en la cadena de Markov se resta la media de las realizaciones de cada
 columna y se multiplica su traspuesta por sí misma se obtiene la matriz
 de covarianzas muestrales de los parámetros.
 Si la longitud de la cadena es mucho mayor que el número de variables se
 tendrá una estimación insesgada de la matriz de covarianzas poblacional
 (ver 
\begin_inset LatexCommand htmlurl
target "http://en.wikipedia.org/wiki/Estimation_of_covariance_matrices"

\end_inset

).
 Dividiendo filas y columnas por su correspondiente elemento diagonal se
 obtiene la matriz de correlaciones muestrales y calculando su descomposición
 de Jordan se puede comprobar si hay autovalores cercanos a la unidad.
 Se toma el autovector 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 correspondiente al mínimo autovalor 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 y se pretende contrastar la hipótesis de que es nulo, 
\begin_inset Formula $\lambda=0$
\end_inset

, es decir que existe colinealidad entre las variables 
\begin_inset Formula $\Upsilon$
\end_inset

 
\begin_inset Formula \begin{equation}
v^{T}\cdot\Upsilon=\lambda\cdot\Upsilon=0\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si se toma una componente no nula cualquiera 
\begin_inset Formula $v_{k}\neq0$
\end_inset

, la ecuación anterior es equivalente a 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\underset{j\neq k}{\sum}v_{j}\cdot\Upsilon_{j}=-v_{k}\cdot\Upsilon_{k}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para contrastar la hipótesis así expresada se puede usar el test no paramétrico
 como el 
\begin_inset LatexCommand htmlurl
name "Mann-Whitney U-test"
target "http://www.alglib.net/statistics/hypothesistesting/mannwhitneyu.php"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si el p-value es mayor que cierto umbral se procede a repetir el test para
 el siguiente autovalor para detectar otras posibles colinealidades.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Normalidad"

\end_inset

Normalidad e independencia de los residuos
\end_layout

\begin_layout Standard
La hipótesis fundamental del modelo es que los residuos estandarizados de
 cada segmento de regresión tienen distribución multinormal estándar independien
te.
 Como los residuos no son conocidos sino que se deben calcular para cualquier
 posible combinación de parámetros lo que se hará es hacer las comprobaciones
 para los residuos correspondientes a los valores medios de los parámetros
 en la cadena de Markov.
 Para contrastar la normalidad se puede usar un test como el 
\begin_inset LatexCommand htmlurl
name "Jarque-Bera test"
target "http://www.alglib.net/statistics/hypothesistesting/jarqueberatest.php"

\end_inset

.
 Para la independencia el test más completo y usado es el 
\begin_inset LatexCommand htmlurl
name "Ljung-Box test"
target "http://en.wikipedia.org/wiki/Ljung-Box_test"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\color red
Detector de outliers.
\end_layout

\begin_layout Standard

\color red
Detector de heterocedasticidad.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Raices_ARMA_unitarias"

\end_inset

Polinomios ARMA no estacionarios
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una realización de los coeficientes de un polinomio AR ó MA de grado
 máximo 2, es trivial calcular el módulo de sus raíces reales o complejas.
 Si se repite el proceso para cada fila de la cadena de Markov simulada
 previamente entonces se obtienen cadenas de Markov de los módulos de las
 raíces y se puede aplicar el anteriormente nombrado 
\begin_inset LatexCommand htmlurl
name "One Sample Sign Test"
target "http://www.alglib.net/statistics/hypothesistesting/signtest.php"

\end_inset

 para contrastar si es igual a 1.
\end_layout

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