source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_P1_S6_Bloque_no_lineal.lyx @ b8f37ca

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\begin_body

\begin_layout Chapter
\begin_inset LatexCommand label
name "cha:El-bloque-de-filtro-no-lineal"

\end_inset

El bloque de filtro no lineal
\end_layout

\begin_layout Standard
Muy a menudo se observan comportamientos de inputs que no actúan de forma
 lineal en el filtrado de fenómenos complejos y de outputs que hay que transform
ar de forma no lineal para obtener relaciones lineales con los algunos inputs
 concretos.
 En ambos casos se trata de modificar bien un output o bien uno o varios
 inputs en el modelo de regresión lineal, y en ambos es posible formalizar
 un método genérico ARMS de simulación de Gibbs de cada parámetro condicionado
 al resto.
 Se expone también el caso concreto de la función de transferencia no lineal
 (deltas).
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:NonLinearFilterBlock_Antecedentes"

\end_inset

Descripción
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea el modelo de regresión con partes no lineales
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\triangle\cdot\left(Y-F_{0}-X\cdot\beta-{\displaystyle \sum_{r=1}^{R}F_{r}\cdot\alpha_{r}}\right)+a\\
a\sim N\left(0,\Sigma\right)\\
Y,a\in\mathbb{R}^{m}\\
\beta\in\mathbb{R}^{n}\wedge X\in\mathbb{R}^{m\times n}\\
F_{r}=f_{r}\left(\tau_{r}\right)\in\mathbb{R}^{m\times h_{r}}\\
\alpha_{r}\in\mathbb{R}^{h_{r}}\\
\tau_{r}\in\mathbb{R}^{R_{r}}\\
F_{0}=f_{0}\left(\tau_{0}\right)\in\mathbb{R}^{m}\\
\tau_{0}\in\mathbb{R}^{R_{0}}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
donde
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 son los parámetros del bloque lineal original de la regresión,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es el número de parámetros a estimar de la regresión,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es el número de datos del output,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es el número de datos de contraste del modelo y ha de ser mayor que el
 de variables,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es la matriz de iputs estrictamente lineales del modelo y es completamente
 conocida y de rango completo.
\end_layout

\begin_layout Itemize
La matriz 
\begin_inset Formula $\triangle$
\end_inset

 es el operador lineal de filtrado determinista, normalmente definido como
 la matriz de Toeplitz correspondiente a un polinomio de raíces unitarias.
 Este operador puede ser degenerado, cuando es 
\begin_inset Formula $M>m$
\end_inset

 (ver 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "sub:ArmaBlock_Antecedentes"

\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 son los residuos del modelo cuya distribución se propone como hipótesis
 principal del mismo,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

 es la matriz de covarianzas, usualmente será o bien una matriz diagonal
 o bien la matriz de autocovarianzas de un proceso ARMA (ver 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "sub:ArmaBlock_Antecedentes"

\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\tau_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tau_{r}$
\end_inset

 son los vectores de parámetros de los filtros no lineales del output y
 el input respectivamente y 
\begin_inset Formula $f_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f_{r}$
\end_inset

 sus correspondientes funciones de filtrado no lineal
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $F_{0}$
\end_inset

 es el vector de filtro de output generado por el filtro no lineal.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $F_{r}$
\end_inset

 es la 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

-ésima matriz de o inputs filtrados.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\alpha_{r}$
\end_inset

 son ampliaciones de los parámetros del bloque lineal para los nuevos input,
\end_layout

\begin_layout Standard
En el caso de covarianzas diagonales o ARMA, este modelo es una extensión
 del modelo correspondiente a un segmento de regresión de la clase BSR,
 ya que condicionando a los parámetros no lineales 
\begin_inset Formula $\tau$
\end_inset

, es obvio que resulta una regresión lineal expresable por bloques
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\triangle\cdot Y{\displaystyle =Z}=\triangle\cdot F_{0}+\triangle\cdot\left(\begin{array}{cccc}
X & F_{1} & \cdots & F_{R}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\beta\\
\alpha_{1}\\
\vdots\\
\alpha_{R}\end{array}\right)+a\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Cada filtro no lineal aditivo del input viene dado por una función real
 arbitraria 
\begin_inset Formula $f_{r}$
\end_inset

 que devuelve una matriz de efectos para un vector de parámetros dados dentro
 de un dominio convexo y cerrado 
\begin_inset Formula $\Omega_{r}^{f}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
F_{r}=f_{r}\left(\tau_{r}\right):\Omega_{r}^{f}\subseteq\mathbb{R}^{R_{r}}\rightarrow\mathbb{R}^{M\times h_{r}}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Estos filtros tienen asociado un vector de parámetros lineales 
\begin_inset Formula $\alpha_{r}$
\end_inset

 que serán estimados como el de un input lineal una vez fijados los parámetros
 no lineales 
\begin_inset Formula $\tau_{r}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El filtro no lineal del output viene dado por una función real arbitraria
 
\begin_inset Formula $f_{0}$
\end_inset

 que devuelve un vector para un vector de parámetros dados dentro de un
 dominio convexo y cerrado 
\begin_inset Formula $\Omega_{0}^{f}$
\end_inset

 que se restará al output original 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
F_{0}=f_{0}\left(\tau_{0}\right):\Omega_{0}^{f}\times\mathbb{R}^{M}\subseteq\mathbb{R}^{R_{0}}\times\mathbb{R}^{M}\rightarrow\mathbb{R}^{M}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nótese que la función no lineal de filtro del input 
\begin_inset Formula $f_{r}$
\end_inset

 podría hacerse cargo de los parámetros 
\begin_inset Formula $\alpha_{r}$
\end_inset

 y añadirse este efecto al filtro no lineal del output, por lo que en apariencia
 no aportan nada dichos 
\begin_inset Formula $\alpha_{r}$
\end_inset

 y podría definirse el modelo usando sólo el filtro del output sin pérdida
 de generalidad.
 La diferencia está en el método de cálculo de las simulaciones usado internamen
te.
 El filtro del output tiene la ventaja de que es más rápido en ejecución,
 especialmente si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

 son fijos o existe algún método rápido de descomposición para ambas, pues
 en tal caso no es necesario recalcular las desde cero en cada simulación.
 Sin embargo pueden dar problemas si alguno de los parámetros del filtro
 no lineal tiene alta correlación con otros lineales o no, pues en ese caso
 la cadena de Markov puede resultar demasiado autocorrelada y precisar de
 longitudes mayores para hacer 
\emph on
thinin
\emph default
.
 Por esta razón se ofrecen ambas posibilidades de definición para aplicar
 en cada caso la más adecuada, o cualquier mezcla de ambas.
\end_layout

\begin_layout Section
Distribución condicionada de los parámetros no lineales
\end_layout

\begin_layout Standard
Si se conocen todos los vectores de parámetros no lineales salvo un 
\begin_inset Formula $\tau_{k}$
\end_inset

 del input y los 
\begin_inset Formula $\alpha,\beta,\Sigma$
\end_inset

 y una descomposición simétrica 
\begin_inset Formula $\Sigma=L\cdot L^{T}$
\end_inset

 entonces, premultiplicando por 
\begin_inset Formula $L^{-1}$
\end_inset

 y llevando todo al lado derecho, salvo los residuos cuya distribución es
 conocida, se tiene la siguiente igualdad 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\varepsilon=L^{-1}\cdot\triangle\cdot\left(Z_{k}-f_{k}\left(\tau_{k}\right)\cdot\alpha_{k}\right)\\
Z_{k}=-F_{0}-X\cdot\beta-{\displaystyle \sum_{\begin{array}{c}
r=1\\
r\neq k\end{array}}^{R}F_{r}\cdot\alpha_{r}}\\
\varepsilon=-L^{-1}\cdot a\sim N\left(0,I_{m}\right)\end{array}\label{eq:non-lin-filter-intput}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si fijamos ahora todos los componentes de 
\begin_inset Formula $\tau_{k}=\left(\tau_{k,1},\ldots,\tau_{k,R_{k}}\right)$
\end_inset

 salvo cierto 
\begin_inset Formula $\tau_{k,i}\wedge i\in\left\{ 1,\ldots,R_{k}\right\} $
\end_inset

 entonces es posible aplicar el método ARMS si se dispone de un método que
 permita construir el dominio de 
\begin_inset Formula $\tau_{k,i}$
\end_inset

 condicionado por los 
\begin_inset Formula $\left\{ \tau_{k,j}\right\} _{j\neq i}$
\end_inset

, para lo que es preciso disponer de dos funciones tales que dicho dominio
 se exprese como el intervalo cerrado
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\omega_{k,i}^{f}\left(\tau_{k}\right)\leq\tau_{k,i}\leq\Omega_{k,i}^{f}\left(\tau_{k}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nótese que al exigirse convexidad y cierre al dominio genérico 
\begin_inset Formula $\Omega_{r}^{f}$
\end_inset

 del vector 
\begin_inset Formula $\tau_{k}$
\end_inset

, el dominio de cada componente es necesariamente un intervalo cerrado,
 por ser la intersección de aquel con un hiperplano.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por el teorema de Bayes, el logaritmo de la densidad de 
\begin_inset Formula $\tau_{k,i}$
\end_inset

 condicionada al resto de parámetros es proporcional a la de los residuos
 resultantes de aplicar la ecuación en diferencias para cada posible valor
 de dicho parámetro, que tomando logaritmos es
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\lg h\left(\tau_{k,i}\right)=Cte_{1}-\frac{m}{2}\lg2\pi-\frac{1}{2}\varepsilon^{T}\varepsilon=Cte-\frac{1}{2}\varepsilon^{T}\varepsilon\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si existe información a priori o de tipo latente sobre todos o algunos de
 los parámetros no lineales, sólo es necesario poder escribirla en términos
 de una distribución normal univariante 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\tau_{k,i}\sim N\left(\mu_{\tau_{k,i}},\sigma_{\tau_{k,i}}^{2}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

En el caso de ser información a priori 
\begin_inset Formula $\mu_{\tau_{k,i}}$
\end_inset

 será constante y si es latente será el valor actual del correspondiente
 hiperparámetro o combinación lineal de hiperparámetros.
 Esto se traduce a una simple ampliación de los residuos estandarizados
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\lg h\left(\tau_{k,i}\right)=Cte-\frac{1}{2}\varepsilon^{T}\varepsilon-\frac{1}{2}\left(\frac{\tau_{k,i}-\mu_{\tau_{k,i}}}{\sigma_{\tau_{k,i}}}\right)^{2}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para el filtro no lineal del output el proceso de simulación es prácticamente
 el mismo: si se conocen todos los vectores de parámetros no lineales salvo
 el del output 
\begin_inset Formula $\tau_{0}$
\end_inset

 del input y los 
\begin_inset Formula $\alpha,\beta,\Sigma$
\end_inset

 y una descomposición simétrica 
\begin_inset Formula $\Sigma=L\cdot L^{T}$
\end_inset

 entonces, premultiplicando por 
\begin_inset Formula $L^{-1}$
\end_inset

 y llevando todo al lado derecho, salvo los residuos cuya distribución es
 conocida, se tiene la siguiente igualdad 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\varepsilon=L^{-1}\cdot\triangle\cdot\left(Z_{0}-f_{0}\left(\tau_{0}\right)\right)\\
Z_{0}=X\cdot\beta+{\displaystyle \sum_{\begin{array}{c}
r=1\end{array}}^{R}F_{r}\cdot\alpha_{r}}\\
\varepsilon=L^{-1}\cdot a\sim N\left(0,I_{m}\right)\end{array}\label{eq:non-lin-filter-output}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A partir de ahí es exactamente igual que con el input por lo que no se explicita
n las fórmulas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hay que hacer notar que en este esquema los resultados de los filtros no
 lineales no pueden tener omitidos.
 Si los datos originales a partir de los cuales se construye, y que sólo
 el propio filtro conoce, tuviera omitidos, entonces el propio filtro debería
 encargarse de su simulación.
 Una posible solución de carácter general sería que los valores desconocidos
 fueran simplemente una variable más que se simula con ARMS igual que los
 demás.
 Eso sería muy sencillo de tratar pero probablemente no sería muy eficiente
 si hay muchos omitidos.
\end_layout

\begin_layout Section
Casos particulares
\end_layout

\begin_layout Subsection
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Función-de-transferencia-no-lineal-deltas"

\end_inset

Función de transferencia no lineal (deltas)
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea el modelo de series temporales con función de transferencia no lineal
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
y_{t}=\frac{\omega\left(B\right)}{\delta\left(B\right)}x_{t}+a_{t}\\
a\sim N\left(0,\Sigma\right)\\
t=1\ldots m\end{array}\end{equation}

\end_inset

donde los polinomios implicados son de la forma
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\omega\left(B\right)={\displaystyle \sum_{i=0}^{h}\omega_{i}B^{i}}\\
\delta\left(B\right)=1-{\displaystyle \sum_{j=1}^{d}\delta_{j}B^{j}}\end{array}\end{equation}

\end_inset

siendo 
\begin_inset Formula $\delta\left(B\right)$
\end_inset

 estacionario, es decir, tal que sus raíces están todas fuera del círculo
 unidad.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esto es expresable dentro de la clase de modelos descritos anteriormente
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y=f\left(\delta,z^{0},x^{0}\right)\cdot\omega+a\\
a\sim N\left(0,\Sigma\right)\\
Y,a\in\mathbb{R}^{m}\\
F=f\left(\delta,z^{0},x^{0}\right)\in\mathbb{R}^{m\times h}\end{array}\end{equation}

\end_inset

donde la función de filtro no lineal se forma a partir del resultado de
 la ecuación en diferencias 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
z_{t}={\displaystyle \sum_{j=1}^{d}\delta_{j}z_{t-j}}+x_{t}\\
F_{t,i}=z_{t-i}\forall i=1\ldots h\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Los valores inciales 
\begin_inset Formula $x^{0}=\left(x_{1-h},\ldots,x_{0}\right)$
\end_inset

 del input original 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 pueden ser conocidos o no, en cuyo caso se incluirán como variables a simular,
 lo mismo que si existen otros valores desconocidos en cualquier otro punto
 de 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 se deberían adjuntar con estos valores iniciales.
 Los valores iniciales 
\begin_inset Formula $z^{0}=\left(z_{1-k},\ldots,z_{0}\right)$
\end_inset

 , con 
\begin_inset Formula $k=\max\left(h,d\right)$
\end_inset

, son siempre desconocidos y deben ser simulados.
 Lo más sencillo sería considerarlos todos ellos variables auxiliares no
 lineales sin más y que sea el propio método ARMS el que los simule.
 Para todos estos parámetros el dominio es siempre la recta real, aunque
 es recomendable dar un intervalo lo más acotado que sea posible con la
 información de que se disponga, así como se debe tener en cuenta la información
 a priori sobre los mismos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para los parámetros 
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset

 rigen las mismas condiciones de estacionariedad descritas en 
\begin_inset LatexCommand vref
reference "sub:Dominio-de-estacionariedad"

\end_inset

 para los parámetros AR y MA por lo que es necesario imponer la misma restricció
n sobre el grado que no puede ser mayor que 2.
 Si fuera preciso usar un grado mayor habría que factorizar 
\begin_inset Formula $\delta\left(B\right)$
\end_inset

 de forma similar a la allí descrita, sin ninguna pérdida de generalidad.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Filtrado en términos originales
\end_layout

\begin_layout Standard
Ocurre a veces que la mayor parte de los efectos que inciden sobre una serie
 output ocurren bajo cierta transformación que produce además residuos más
 homocedásticos que en términos originales.
 Muy a menudo se trata de la transformación logarítmica, es decir, se tiene
 una mayoría de efectos multiplicativos en términos originales, sin que
 eso sea obstáculo para que pueda existir algún que otro efecto aditivo.
 Este modelo de regresión no lineal se escribiría así
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)=X^{\beta}\cdot\beta+a\\
a\sim N\left(0,\Sigma\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Despejando la serie transformada
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Log\left(Y\right)-Log\left(Y\right)+Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)=X^{\beta}\cdot\beta+a\\
Log\left(Y\right)=Log\left(Y\right)-Log\left(Y-X^{\alpha}\cdot\alpha\right)+X^{\beta}\cdot\beta+a\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
lo cual se puede escribir dentro de la clase expuesta mediante un filtro
 no lineal de output
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
f_{0}\left(\alpha\right)=Log\left(Y\right)-Log\left(Y+X^{\alpha}\cdot\alpha\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Modelo probit
\end_layout

\begin_layout Standard
Con una pequeña extensión en la definición de los filtros, que permita sustituir
 las funciones 
\begin_inset Formula $f_{0}$
\end_inset

 por generadores de variables aleatorias, con o sin parámetros, es posible
 simular modelos cualitativos como el probit.
 En estos modelos el output original es una variable cualitativa booleana,
 es decir, 
\begin_inset Formula $Y_{t}\in\left\{ 0,1\right\} $
\end_inset

.
 Para ello se definirá como filtro del output el generador aleatorio condicionad
o al bloque lineal 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
f_{0,t}\leftarrow\left\{ \begin{array}{cc}
Y_{t}-TN\left(X\cdot\beta,1,f_{0,t}\leq X\cdot\beta\right) & \forall Y_{t}=0\\
Y_{t}-TN\left(X\cdot\beta,1,X\cdot\beta\leq f_{0,t}\right) & \forall Y_{t}=1\end{array}\right.\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una vez generado este filtro de output se tiene de nuevo un modelo de regresión
 lineal perfectamente asumible por BSR.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y=f_{0}+X\cdot\beta+\epsilon\\
\epsilon\sim N\left(0,I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En este caso no hay ningún parámetro que simular, si no que se simula directamen
te el output, por lo que evidentemente no sería necesario incluir los métodos
 de obtención de intervalos.
 Matemáticamente no tiene sentido decir que 
\begin_inset Formula $f_{0}$
\end_inset

 sea una función, pues no depende de ningún parámetro, pero no habría ningún
 problema en pensar que existe un parámetro 
\begin_inset Formula $\tau_{0}$
\end_inset

 irrelevante que luego nos abstenemos de simular.
 Informáticamente se tratará sin ningún problema como un caso particular
 de dimensión del vector de parámetros igual 0.
\end_layout

\end_body
\end_document