source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_P1_S5_Bloque_de_omitidos.lyx @ e41ec2b

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\begin_layout Chapter
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "cha:El-bloque-de-omitidos"

\end_inset

El bloque de omitidos
\end_layout

\begin_layout Standard
En la simulación de Gibbs de una regresión lineal generalizada con datos
 omitidos en el input y en el output, si se condiciona al resto de parámetros,
 se obtiene otra regresión lineal cuyos parámetros son los valores omitidos.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:MissingBlock_Antecedentes"

\end_inset

Descripción
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea el modelo de regresión lineal con omitidos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\triangle\cdot\left(Y+\delta^{v}\cdot v-\left(X+\delta^{u}\cdot u\right)\cdot\beta\right)=a\\
a\sim N\left(0,\Sigma\right)\\
a\in\mathbb{R}^{m}\\
Y,V=\delta^{v}\cdot v\in\mathbb{R}^{M}\\
\nabla\in\mathbb{R}^{m\times M}\wedge M\geqslant m\\
\beta\in\mathbb{R}^{n}\wedge X,U=\delta^{u}\cdot u\in\mathbb{R}^{M\times n}\\
v\in\mathbb{R}^{K_{0}},u\in\mathbb{R}^{K}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 son los parámetros del bloque lineal de la regresión,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es el número de parámetros a estimar de la regresión,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es la matriz de output del modelo y es completamente conocida, aunque puede
 cambiar de una simulación para otra si estamos en el marco de una simulación
 de Gibbs con más bloques involucrados.
 Donde es desconocida se coloca un cero.
\end_layout

\begin_layout Itemize
La matriz booleana 
\begin_inset Formula $\delta^{v}\in\{0,1\}^{M\times K_{0}}$
\end_inset

 es el operador lineal de ubicación que transforma el vector de parámetros
 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 en el vector de outputs omitidos 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 ubicados en los índices adecuados.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es el número de datos del output
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es la matriz de iputs del modelo y es completamente conocida y de rango
 completo, aunque puede cambiar de una simulación para otra lo mismo que
 el output.
 Donde es desconocida se coloca un cero.
\end_layout

\begin_layout Itemize
El tensor tridimensional booleano 
\begin_inset Formula $\delta^{u}\in\{0,1\}^{M\times n\times K}$
\end_inset

 es el operador lineal de ubicación que transforma el vector de parámetros
 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 en la matriz de inputs omitidos 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 ubicados en los índices adecuados.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es el número de datos de contraste del modelo, o número de residuos, y
 ha de ser mayor que el de variables,
\end_layout

\begin_layout Itemize
La matriz 
\begin_inset Formula $\triangle$
\end_inset

 es el operador lineal de filtrado determinista, normalmente definido como
 la matriz de Toeplitz correspondiente a un polinomio de raíces unitarias.
 Este operador puede ser degenerado, cuando es 
\begin_inset Formula $M>m$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es el ruido del modelo cuya distribución se propone como hipótesis principal
 del mismo,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

 es la matriz de covarianzas, usualmente será o bien una matriz diagonal
 o bien la matriz de autocovarianzas de un proceso ARMA
\end_layout

\begin_layout Standard
Al conjunto de índices en los que se dan interrupciones en el output se
 le llamará
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}^{0}=\left\{ t_{1}^{0},\ldots,t_{K_{0}}^{0}\right\} \end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La matriz de datos conocidos de output 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 valen 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 en las interrupciones y las matriz de datos desconocidos de output 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 vale 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 fuera de las interrupciones y un valor a estimar dentro
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y_{t}=0\forall t\in\mathcal{I}^{0}\\
V_{t}=0\forall t\notin\mathcal{I}^{0}\\
V_{t_{k}^{0}}=v_{k}\forall k=1\ldots K_{0}\\
v=\left(v_{1}\ldots v_{K_{0}}\right)^{T}\in\mathbb{R}^{K_{0}}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
De forma análoga para cada input 
\begin_inset Formula $j=1\ldots n$
\end_inset

 se define el conjunto de índices en los que se dan interrupciones
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}^{j}=\left\{ t_{1}^{j},\ldots,t_{K_{j}}^{j}\right\} \end{array}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La matriz de datos conocidos de input 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 valen 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 en las interrupciones y las matriz de datos desconocidos de output 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 vale 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 fuera de las interrupciones y un valor a estimar dentro
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
X_{j,t}=0\forall t\in\mathcal{I}^{j}\\
U_{t,j}=0\forall t\notin\mathcal{I}^{j}\\
U_{t_{k}^{j},j}=w_{k}^{j}\forall k=1\ldots K_{j}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si se concatenan los vectores 
\begin_inset Formula $w^{j}$
\end_inset

 se obtiene un único vector de omitidos de inputs 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
u^{T}=\left(w_{1}^{1T}\ldots w_{K_{1}}^{1T},w_{1}^{2T}\ldots w_{K_{2}}^{2T},...,w_{1}^{nT}\ldots w_{K_{n}}^{nT}\right)\in\mathbb{R}^{K}\\
K=\sum_{j=1}^{n}K_{j}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Esto es equivalente a establecer la función de indexación 
\begin_inset Formula $S\left(j,k\right)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
u_{S\left(j,k\right)}=w_{k}^{j}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Es obvio que condicionando a los vectores de los bloques de omitidos 
\begin_inset Formula $u,v$
\end_inset

 queda una regresión lineal.
 Veremos a continuación que esta relación es recíproca.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Distribución condicionada de los omitidos del output
\end_layout

\begin_layout Standard
Si se conocen 
\begin_inset Formula $\beta,\sigma^{2},\Sigma,U$
\end_inset

 y una descomposición simétrica 
\begin_inset Formula $\Sigma=L\cdot L^{T}$
\end_inset

 entonces, premultiplicando por 
\begin_inset Formula $L^{-1}$
\end_inset

 y llevando al lado izquierdo todo lo conocido, a lo cual llamaremos 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
D=\dot{L}^{-1}\cdot\left(Y-\left(X+U\right)\cdot\beta\right)=-\dot{L}^{-1}\cdot V+\varepsilon\\
\dot{L}^{-1}=L^{-1}\cdot\triangle\\
\varepsilon=L^{-1}\cdot a\sim N\left(0,I_{m}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Extrayendo de 
\begin_inset Formula $-L^{-1}$
\end_inset

 las columnas correspondientes a las interrupciones en una matriz 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 resulta una regresión lineal en los parámetros de output desconocidos 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
D=H\cdot v+\varepsilon\\
\varepsilon\sim N\left(0,I_{m}\right)\\
H_{t,k}=-\dot{L}_{t,t_{k}^{0}}^{-1}\forall k=1\ldots K_{0}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si existe algún conocimiento a priori, sobre los valores que pueden adoptar
 los omitidos, y éste es expresable como una multinormal truncada, 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
v\sim N\left(\mu_{v},\Sigma_{v}\right)\\
A_{v}\cdot v\leq a_{v}\end{array}\end{equation}

\end_inset

y se dispone de una descomposición simétrica 
\begin_inset Formula $\Sigma_{v}^{-1}=L_{v}\cdot L_{v}^{T}$
\end_inset

, entonces no hay más que añadir a la regresión las ecuaciones e inecuaciones
 pertinentes
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
D=H\cdot v+\varepsilon\\
L_{v}\cdot\mu_{v}=L_{v}\cdot v+\varepsilon_{v}\\
A_{v}\cdot v\leq a_{v}\\
\varepsilon\sim N\left(0,I_{m}\right)\\
\varepsilon_{v}\sim N\left(0,I_{K_{0}}\right)\end{array}\label{eq:apriori-omitidos-output}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En cualquier caso, definiendo 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\breve{D}=\left(\begin{array}{c}
D\\
L_{v}\cdot\mu_{v}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula \begin{equation}
\breve{H}=\left(\begin{array}{cc}
H, & L_{v}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula \begin{equation}
\breve{\varepsilon}=\left(\begin{array}{c}
\varepsilon\\
\varepsilon_{v}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset

se tiene una regresión lineal estandarizada con restricciones 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\breve{D}=\breve{H}\cdot v+\breve{\varepsilon}\\
A_{v}\cdot v\leq a_{v}\\
\breve{\varepsilon}\sim N\left(0,I_{m+K_{0}}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

que se puede tratar como se explicaba en el capítulo 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LinearBlock_Antecedentes"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Distribución condicionada de los omitidos del input
\end_layout

\begin_layout Standard
Si se conocen 
\begin_inset Formula $\beta,\sigma^{2},\Sigma,V$
\end_inset

 y una descomposición simétrica 
\begin_inset Formula $\Sigma=L\cdot L^{T}$
\end_inset

 entonces, premultiplicando por 
\begin_inset Formula $L^{-1}$
\end_inset

 y llevando al lado izquierdo todo lo conocido, a lo cual llamaremos 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
C=\dot{L}^{-1}\cdot\left(Y+V-X\cdot\beta\right)=\dot{L}^{-1}\cdot U\cdot\beta+\varepsilon\\
\dot{L}^{-1}=L^{-1}\cdot\nabla\triangle\\
\varepsilon=L^{-1}\cdot a\sim N\left(0,I_{m}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El producto de matrices 
\begin_inset Formula $L^{-1}\cdot U\cdot\beta$
\end_inset

 se puede expresar alternativamente como otro producto 
\begin_inset Formula $G\cdot u$
\end_inset

 en el que sólo interviene el vector de inputs omitidos 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
{\displaystyle \sum_{t=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}\dot{L}_{t,i}^{-1}}U_{i,j}\beta_{j}{\textstyle ={\displaystyle \sum_{t=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{K_{j}}\begin{array}{c}
\dot{L}_{t,t_{k}^{j}}^{-1}\beta_{j}w_{k}^{j}\end{array}}}={\displaystyle \sum_{t=1}^{m}\sum_{s=1}^{K}\begin{array}{c}
G_{t,s}u_{s}\end{array}}\\
G_{t,s}=L_{t,t_{k}^{j}}^{-1}\beta_{j}\wedge s=S\left(j,k\right)\\
G\in\mathbb{R}^{M\times K}\wedge w\in\mathbb{R}^{K}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Resulta pues una regresión lineal en los parámetros de input desconocidos
 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
C=G\cdot u+\varepsilon\\
\varepsilon\sim N\left(0,I_{m}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si existe algún conocimiento a priori, sobre los valores que pueden adoptar
 los omitidos, y éste es expresable como una multinormal truncada, 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
v\sim N\left(\mu_{u},\Sigma_{u}\right)\\
A_{u}\cdot u\leq a_{u}\end{array}\end{equation}

\end_inset

y se dispone de una descomposición simétrica 
\begin_inset Formula $\Sigma_{u}^{-1}=L_{u}\cdot L_{u}^{T}$
\end_inset

, entonces no hay más que añadir a la regresión las ecuaciones e inecuaciones
 pertinentes
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
C=G\cdot u+\varepsilon\\
L_{u}\cdot\mu_{u}=L_{u}\cdot u+\varepsilon_{u}\\
A_{u}\cdot u\leq a_{u}\\
\varepsilon\sim N\left(0,I_{m}\right)\\
\varepsilon_{u}\sim N\left(0,I_{K}\right)\end{array}\label{eq:apriori-omitidos-input}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En cualquier caso, definiendo 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\breve{C}=\left(\begin{array}{c}
C\\
L_{u}\cdot\mu_{u}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula \begin{equation}
\breve{G}=\left(\begin{array}{cc}
G, & L_{u}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula \begin{equation}
\breve{\varepsilon}=\left(\begin{array}{c}
\varepsilon\\
\varepsilon_{u}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset

se tiene una regresión lineal estandarizada con restricciones 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\breve{C}=\breve{G}\cdot u+\breve{\varepsilon}\\
A_{u}\cdot u\leq a_{u}\\
\breve{\varepsilon}\sim N\left(0,I_{m+K}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

que se puede tratar como se explicaba en el capítulo 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LinearBlock_Antecedentes"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Distribución condicionada conjunta de los omitidos del input y el output
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Lo anterior es válido bajo el supuesto de que los conjuntos de omitidos
 del input y el output son disjuntos, pues de lo contrario sería imposible
 formular el condicionamiento mutuo de ambos bloques y no habría otro remedio
 que simularlos conjuntamente en un vector 
\begin_inset Formula $w\in\mathbb{R}^{K_{0}+K-K'}$
\end_inset

 que englobara los parámetros 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

, sin repetición de los 
\begin_inset Formula $K'$
\end_inset

 comunes, como es lógico.
\end_layout

\begin_layout Standard
En tal caso, si se conocen 
\begin_inset Formula $\beta,\sigma^{2},\Sigma$
\end_inset

 y una descomposición simétrica 
\begin_inset Formula $\Sigma=L\cdot L^{T}$
\end_inset

 entonces, premultiplicando por 
\begin_inset Formula $L^{-1}$
\end_inset

 y llevando al lado izquierdo todo lo conocido, a lo cual llamaremos 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, se tiene que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
E=\dot{L}^{-1}\cdot\left(Y-X\cdot\beta\right)=\dot{L}^{-1}\cdot\left(U\cdot\beta-V\right)+\varepsilon\\
\dot{L}^{-1}=L^{-1}\cdot\nabla\triangle\\
\varepsilon=L^{-1}\cdot a\sim N\left(0,I_{m}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Siguiendo los razonamientos de los puntos anteriores, existirá una matriz
 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\dot{L}^{-1}\cdot\left(U\cdot\beta-V\right)=J\cdot w\end{equation}

\end_inset

de forma que podríamos escribir todo lo anterior como una sola regresión
 lineal
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
E=J\cdot w+\varepsilon\\
L_{w}\cdot\mu_{w}=L_{w}\cdot w+\varepsilon_{w}\\
A_{w}\cdot w\leq a_{w}\\
\varepsilon\sim N\left(0,I_{m}\right)\\
\varepsilon_{w}\sim N\left(0,I_{K_{0}+K-K'}\right)\end{array}\label{eq:apriori-omitidos-input-output}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document