source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_P1_S1_Clase_de_modelos.lyx @ 51c3a2f

#LyX 1.5.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\author "" 
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\begin_layout Chapter
\begin_inset LatexCommand label
name "cha:Definición-de-la-clase-de-modelos-admisibles-en-BSR"

\end_inset

Definición de la clase de modelos admisibles en BSR
\end_layout

\begin_layout Standard
Se formula el tipo de modelos que es capaz de tratar BSR en la forma más
 general posible, así como el método de Gibbs por bloques aplicado para
 la simulación.
\end_layout

\begin_layout Section
Evolución de la modelación en TOL
\end_layout

\begin_layout Standard
Uno de los tipos de modelos más utilizados en la previsión de series temporales
 es el modelo ARIMA con función de transferencia lineal (omega)
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Standard
Ver 
\begin_inset LatexCommand cite
key "Box-Jenkins"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 El estimador máximo verosímil de TOL para esta clase de modelos es la función
 Estimate y durante años ha servido para modelar fenómenos realmente complicados
, gracias a su eficiencia de cálculo y a su facilidad de manejo, el tratamiento
 de omitidos en el output, etc.
 Sin embargo, presenta graves problemas inherentes al propio método de estimació
n máximo verosímil.
\end_layout

\begin_layout Standard
El más grave de todos ocurre cuando existen correlaciones múltiples entre
 grupos de variables de forma que los parámetros capturan bien el efecto
 conjunto pero no el particular de cada uno.
 Variables que deberían dar valores positivos se estiman como negativos
 y al revés simplemente porque ocurren casi de la misma forma que otros
 efectos de signo contrario.
 A veces es suficiente reformular los inputs de forma que sean lo más ortogonale
s entre sí que sea posible, pero otras veces no es viable hacerlo sin perder
 expresabilidad en el modelo o simplemente no hay datos suficientes en la
 muestra para poder distinguir inputs muy distintos en el fondo pero iguales
 en la forma para la muestra disponible.
 En estos casos es necesario que el analista pueda expresar toda la información
 a priori de que disponga para ayudar al estimador.
 En general si no se dispone de una adecuada información a priori, al hacer
 previsiones, el modelo funciona de forma muy distinta si éstas son extramuestra
les o intramuestrales.
 En general, cuanto más información a priori fidedigna haya menos discrepancia
 se encontrará.
 Mucho cuidado con inventarse información a priori no justificada porque
 eso es seguro mucho peor que no dar ninguna información.
 Hubo algún intento de introducir mecanismos en este sentido para el estimador
 MLE pero no se llegó a ningún resultado aceptable.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por razones de diferente tipo, a veces se conoce el signo o un intervalo
 de dominio de determinados parámetros, o bien que el efecto de unos debe
 ser mayor que el de otros (relaciones de orden), o, en general, se conoce
 cualquier tipo de restricción lineal.
 Este tipo de restricciones complican la convergencia de los métodos de
 optimización usados en MLE por lo que nunca se consiguió incorporarlos
 adecuadamente.
\end_layout

\begin_layout Standard
A la hora de manejar datos de clientes reales es muy frecuente que falten
 datos, no sólo de las series output a analizar, sino también de los inputs
 empleados en su explicación.
 Para un estimador MLE esto supone una fuente más de no linealidad que complica
 aún más la implementación y la convergencia del método.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por los mismos motivos nunca llegaron a funcionar debidamente en el MLE
 otros sistemas de componentes no lineales, como funciones de transferencia
 amortiguadas (deltas) y otras propias del negocio en cuestión que no es
 posible ajustar a una forma no lineal paramétrica concreta sino que pueden
 tener formas arbitrarias cualesquiera.
\end_layout

\begin_layout Standard
Lo anterior se refiere a la descripción del modelo de regresión univariante
 de un nodo de observación concreto, como puede ser cada uno de los puntos
 de venta de un producto concreto, o cada una de las variantes de un producto
 o cualquier tipo de entidad que se quiera analizar en detalle.
 Pero también existen relaciones entre los parámetros de diferentes nodos
 de observación.
 Estas relaciones pueden ser expresadas a veces mediante una estructura
 jerárquica lineal mediante hiperparámetros no observables que se agrupan
 en nodos que llamaremos latentes y que se relacionan linealmente con los
 parámetros de los nodos obervados, o bien, con otros hiperparámetros de
 nodos latentes de niveles inferiores.
 Estas estructuras dan lugar a un aumento brutal del número de variables
 que un sistema MLE no puede soportar.
\end_layout

\begin_layout Standard
Este tipo de modelos jerárquicos se pueden ver como un caso particular de
 regresión lineal sparse, una vez filtrados el resto de efectos (ARIMA,
 omitidos, ...) de los nodos observacionales.
 Pero existen otras clases de modelos, como las redes bayesianas en los
 que las relaciones entre los parámetros e hiperparámetros no tienen porqué
 darse sólo en un sentido jerárquico, sino de forma arbitraria, manteniéndose
 sin embargo la característica sparse de la matriz de diseño conjunta.
 No es posible ni siquiera soñar con un estimador MLE capaz de trabajar
 con estas clases de modelos.
 En esta generalización, lo que realmente es común a todas ellas es que
 existen nodos de información o segmentos de regresión, observados o no,
 que introducen ecuaciones de regresión que involucran a parámetros del
 llamado bloque lineal, que pueden estar sujetos a restricciones de desigualdad
 lineal.
 Cada uno de estos segmentos tienen asociado un vector de residuos que puede
 tener o no una estructura de serie temporal, estructura ARIMA, datos omitidos,
 filtros no lineales, etc.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todas estas razones han llevado a la conclusión irrevocable de que es preciso
 un sistema de estimación bayesiana basado en simulaciones de Montecarlo
 de cadenas de Markov (MCMC) generadas con métodos como Gibbs o Metropolis-Hasti
ngs.
 Varios han sido los intentos de implementación de estos sistemas, destacando
 entre todos BLR y HLM, y aunque los resultados han sido en general de una
 alta calidad, no se puede decir lo mismo respecto a la generalidad de los
 modelos admitidos ni de la eficiencia en los cálculos.
\end_layout

\begin_layout Section
Formalización de la clase de modelos de BSR
\begin_inset LatexCommand label
name "sec:clase_modelos_BSR"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A continuación se va a describir el modelo de regresión con restricciones
 lineales subdivisible en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 segmentos de regresión cuyo único nexo en común es el vector 
\begin_inset Formula $\beta\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 de los parámetros a estimar en el bloque lineal conjunto de la regresión.
 Para el 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-ésimo segmento de regresión, sean 
\begin_inset Formula $Y^{\left(k\right)}\in\mathbb{R}^{M_{k}}$
\end_inset

 el vector de output original a analizar, y 
\begin_inset Formula $X^{\left(k\right)}\in\mathbb{R}^{M_{k}\times n}$
\end_inset

 la matriz de inputs originales explicativos del segmento.
 La relación de regresión no se da, en general, sobre estos términos originales
 sino que se precisa hacer una serie de filtrados que se describen a continuació
n.
\end_layout

\begin_layout Standard
Tanto el input como el output originales pueden tener omitidos, los cuales
 deben ser sustituidos por ceros, para permitir realizar las operaciones
 aritméticas y algebraicas necesarias para su simulación y filtrado.
 Llamaremos 
\begin_inset Formula $v^{\left(k\right)}$
\end_inset

y 
\begin_inset Formula $u^{\left(k\right)}$
\end_inset

 a los vectores de parámetros correspondientes a los omitidos del output
 y el input respectivamente, y 
\begin_inset Formula $\delta^{v^{\left(k\right)}}$
\end_inset

y 
\begin_inset Formula $\delta^{u^{\left(k\right)}}$
\end_inset

 a los operadores lineales de ubicación
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Standard
Se aconseja no pararse ahora demasiado en los detalles que se explicarán
 bien a fondo en el capítulo 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "sub:MissingBlock_Antecedentes"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 .
 De esta manera resultan el output y los inputs filtrados de omitidos, o
 simplemente filtrados sin más
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\check{Y}^{\left(k\right)}=Y^{\left(k\right)}+\delta^{v^{\left(k\right)}}\cdot v^{\left(k\right)}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula \begin{equation}
\check{X}^{\left(k\right)}=X^{\left(k\right)}+\delta^{u^{\left(k\right)}}\cdot u^{\left(k\right)}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La relación entre ambos es lo que define propiamente el segmento de regresión
 lineal en los parámetros lineales 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\check{Y}^{\left(k\right)}=\check{X}^{\left(k\right)}\beta+w^{\left(k\right)}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El vector 
\begin_inset Formula $w^{\left(k\right)}\in\mathbb{R}^{M_{k}}$
\end_inset

 es el que se llamará ruido ARIMA o ruido sin diferenciar del segmento.
 Si se define la matriz 
\begin_inset Formula $\triangle^{\left(k\right)}\in\mathbb{R}^{m_{k}\times M_{k}}$
\end_inset

 como el operador lineal de rango 
\begin_inset Formula $m_{k}\leq M_{k}$
\end_inset

 de filtrado determinista, normalmente definido como la matriz de Toeplitz
 correspondiente a un polinomio de raíces unitarias, se obtendrá el ruido
 ARMA o ruido diferenciado 
\begin_inset Formula $z^{\left(k\right)}\in\mathbb{R}^{m_{k}}$
\end_inset

 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
z^{\left(k\right)}=\triangle^{\left(k\right)}w^{\left(k\right)}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si no hay estructuras de este tipo se establece 
\begin_inset Formula $m_{k}=M_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\triangle^{\left(k\right)}=I_{m_{k}}$
\end_inset

.
 La distribución de este ruido ARMA viene dada por la ecuación en diferencias
 del modelo ARMA
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Standard
Más detalles en el capítulo 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "sub:ArmaBlock_Antecedentes"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\phi^{\left(k\right)}\left(B\right)z_{t}^{\left(k\right)}=\theta^{\left(k\right)}\left(B\right)e_{t}^{\left(k\right)}\\
e^{\left(k\right)}\sim N\left(0,\sigma_{k}^{2}I_{m_{k}}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

siendo 
\begin_inset Formula $\sigma_{k}^{2}\in\mathbb{R}^{+}$
\end_inset

 el parámetro varianza
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Standard
Más detalles en 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "sub:SigmaBlock_Antecedentes"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $e^{\left(k\right)}\in\mathbb{R}^{m_{k}}$
\end_inset

, los residuos incorrelados del segmento.
 En algunos segmentos puede venir prefijado el valor de la varianza como
 un dato a priori del modelo en lugar de como un parámetro a simular.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 la matriz
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Formula \begin{equation}
\left.L^{\left(k\right)}\right.^{-1}=\frac{1}{\sigma_{k}}L^{-1}\left(\phi^{\left(k\right)},\theta^{\left(k\right)},m_{k}\right)\end{equation}

\end_inset


\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 de descomposición simétrica de la matriz de covarianzas del modelo ARMA
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Standard
Más detalles en 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "sub:Condicionamiento-a-los-ARMA"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 Si se premultiplican por ella el output e input filtrados y diferenciados
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y^{'\left(k\right)}=\left.L^{\left(k\right)}\right.^{-1}\triangle^{\left(k\right)}\check{Y}^{\left(k\right)}\\
X^{'\left(k\right)}=\left.L^{\left(k\right)}\right.^{-1}\triangle^{\left(k\right)}\check{X}^{\left(k\right)}\end{array}\end{equation}

\end_inset

se obtiene la expresión del segmento de regresión lineal estandarizada
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y^{'\left(k\right)}=X^{'\left(k\right)}\check{\beta}+\epsilon^{\left(k\right)}\\
\epsilon^{\left(k\right)}\sim N\left(0,I_{m_{k}}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $\epsilon^{\left(k\right)}=\frac{1}{\sigma_{k}}e^{\left(k\right)}\in\mathbb{R}^{m_{k}}$
\end_inset

 son los residuos estandarizados del segmento.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si se definen de forma conjunta para todos los segmentos de regresión, los
 vectores de output y residuos conjuntos y la matriz conjunta de inputs,
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\left.Y^{'}\right.^{T}=\left(\left.Y^{'\left(1\right)}\right.^{T},\ldots,\left.Y^{'\left(K\right)}\right.^{T}\right)\\
\epsilon^{T}=\left(\epsilon^{\left(1\right)T},\ldots,\epsilon^{\left(K\right)T}\right)\\
X^{'}=\left(X^{'(1)},\ldots,X^{'(K)}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

se obtiene la regresión lineal principal conjunta del modelo
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y^{'}=X^{'}\cdot\check{\beta}^{T}+\epsilon\\
\epsilon\sim N\left(0,I_{m}\right)\\
m={\displaystyle \sum_{k=1}^{K}m_{k}}\end{array}\end{equation}

\end_inset

donde el vector conjunto de parámetros estará sujeto opcionalmente a un
 sistema de inecuaciones lineales arbirarias de la forma
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
C\cdot\check{\beta}\leq c\end{array}\end{equation}

\end_inset

siendo 
\begin_inset Formula $C\in\mathbb{R}^{\rho\times n}$
\end_inset

 la matriz de coeficientes de restricción y 
\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}^{\rho}$
\end_inset

 el vector de frontera, ambos conocidos y fijos
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Standard
Más detalles en 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "sub:LinearBlock_Antecedentes"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En resumen, es posible clasificar los símbolos empleados asegún su papel
 en la simulación
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Datos
\emph default
: vienen dados en la propia definición del modelo y son 
\begin_inset Formula $C,c,Y^{\left(k\right)},X^{\left(k\right)},\triangle^{\left(k\right)},\delta^{v^{\left(k\right)}},\delta^{u^{\left(k\right)}}$
\end_inset

y algunos 
\begin_inset Formula $\sigma_{k}^{2}$
\end_inset

 prefijados
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Parámetros
\emph default
: son los valores que se quieren simular para poder hacer luego inferencia
 bayesiana sobre ellos o sobre funciones de ellos, lo cual incluye al resto
 de los 
\begin_inset Formula $\sigma_{k}^{2}$
\end_inset

 no prefijados y a 
\begin_inset Formula $\beta,\alpha^{\left(k\right)},\phi^{\left(k\right)},\theta^{\left(k\right)},v^{\left(k\right)},u^{\left(k\right)}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Ruidos
\emph default
: son variables aleatorias cuya distribución se propone como hipótesis del
 modelo y son 
\begin_inset Formula $w^{\left(k\right)},z^{\left(k\right)},e^{\left(k\right)},\epsilon^{\left(k\right)}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Filtros
\emph default
: son variables auxiliares que se hacen necesarias durante la simulación
 de las diferentes componentes, como 
\begin_inset Formula $\check{Y}^{\left(k\right)},\check{X}^{\left(k\right)},Y^{'\left(k\right)},X^{'\left(k\right)}$
\end_inset

y otras que irán surgiendo en la explicación detallada de cada bloque.
\end_layout

\begin_layout Section
Extensiones de la clase de modelos BSR
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta clase de modelos recién presentada puede ser ampliada mediante comoposición
 con otros modelos de tipo BSR o de otro tipo, como de bloques no lineales,
 heterocedasticidad, etc.
 De hecho, tanto la parte ARIMA como los omitidos podrían haber sido considerado
s como extensiones de la clase de modelos lineales, pero la estrecha relación
 entre todos estos bloques y las múltiples implicaciones entre sus respectivos
 filtrados hacen que sean más eficientes los algoritmos si se consideran
 dentro de un mismo marco.
 Cuando quepa duda de sobre qué se está hablando se especificará bien la
 clase básica de modelos BSR o bien la clase extendida de modelos BSR.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:El-modelo-jerárquico"

\end_inset

El modelo jerárquico lineal HLM
\end_layout

\begin_layout Standard
A continuación se verá cómo el modelo jerárquico se puede expresar como
 un caso particular de la clase de modelos recién descrita.
\end_layout

\begin_layout Standard
Los nodos observacionales admitirían opcionalmente parte ARIMA, datos omitidos
 y filtros no lineales.
 Todos los parámetros de este nivel son propiedad exclusiva de cada nodo
 observacional, incluidos los del bloque lineal, por lo que no hay ningún
 parámetro en común entre nodos observacionales.
\end_layout

\begin_layout Standard
La ecuación típica de un nodo latente es de la forma 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\vartheta\sim N\left(X\cdot\eta,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El símbolo 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 de los hiperparámetros del nodo latente formará parte del bloque lineal
 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 general del modelo y el símbolo 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 es un vector de parámetros del bloque lineal de nodos previamente definidos,
 es decir, bien parámetros 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\size larger
\color red
 
\size default
\color inherit
de nodos observacionales, o bien hiperparámetros 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 de nodos latentes previos.
 La varianza 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

 puede ser un valor conocido dado o bien un parámetro a estimar, aunque
 esto último puede dar problemas de convergencia si no hay suficiente superficie
 de respuesta, es decir si hay pocas observaciones con respecto al número
 de variables.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Si se reescribe la ecuación del nodo latente de esta forma
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
0=\vartheta-X\cdot\eta+e\\
e\sim N\left(0,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

es decir, si se define el vector de output como 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

, entonces se puede escribir como un segmento de regresión de BSR muy simple,
 sin parte ARIMA, ni datos omitidos ni filtro no lineal.
\end_layout

\begin_layout Standard
La ecuación típica de un nodo a priori es de la forma 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\vartheta\sim N\left(\mu,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El símbolo 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 es un vector de parámetros del bloque lineal de nodos previamente definidos,
 es decir, bien parámetros 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\size larger
\color red
 
\size default
\color inherit
de nodo observacionales , o bien hiperparámetros 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 de nodos latentes previos.
 La varianza 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

 suele ser un valor conocido dado en este tipo de nodos, aunque perfectamente
 podría ser un parámetro a estimar, con los mismos problemas referidos para
 los nodos latentes.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si se reescribe la ecuación del nodo latente de esta forma
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mu=\vartheta+e\\
e\sim N\left(0,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

es decir, si se define el vector de output como 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

, entonces se puede escribir como un segmento de regresión de BSR muy simple,
 sin parte ARIMA, ni datos omitidos ni filtro no lineal.
\end_layout

\begin_layout Standard
El bloque lineal de un modelo HLM tendría pues la siguiente forma de regresión
 lineal con residuos independientes
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\left(\begin{array}{c}
Y^{O}\\
Y^{L}\\
Y^{P}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
X^{O} & 0\\
\nabla_{O}^{L} & -X^{L}\\
\nabla_{O}^{P} & \nabla_{L}^{P}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
\beta\\
\vartheta\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
e^{O}\\
e^{L}\\
Ye^{P}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula \begin{equation}
Y=\left(\begin{array}{c}
Y^{O}\\
Y^{L}\\
Y^{P}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
Y^{O_{1}}\\
\vdots\\
Y^{O_{K_{O}}}\\
0\\
\vdots\\
0\\
\mu^{P_{1}}\\
\vdots\\
\mu^{P_{K_{P}}}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
X=\left(\begin{array}{cc}
X^{O} & 0\\
\nabla_{O}^{L} & X^{L}\\
\nabla_{O}^{P} & \nabla_{L}^{P}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
X^{O_{1}} & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & \cdots & X^{O_{K_{O}}} & 0 & \cdots & 0\\
\nabla_{O_{1}}^{L_{1}} & \cdots & \nabla_{O_{K_{O}}}^{L_{1}} & -X^{L_{1}} & \cdots & 0\\
\vdots &  & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\nabla_{O_{1}}^{L_{K_{L}}} & \cdots & \nabla_{O_{K_{O}}}^{L_{S_{L}}} & 0 & \cdots & -X^{L_{K_{L}}}\\
\nabla_{O_{1}}^{P_{1}} & \cdots & \nabla_{O_{K_{O}}}^{P_{1}} & \nabla_{L_{1}}^{P_{1}} & \cdots & \nabla_{L_{K_{L}}}^{P_{1}}\\
\vdots &  & \vdots & \vdots &  & \vdots\\
\nabla_{O_{1}}^{P_{K_{P}}} & \cdots & \nabla_{O_{K_{O}}}^{P_{K_{P}}} & \nabla_{L_{1}}^{P_{K_{P}}} & \cdots & \nabla_{L_{K_{L}}}^{P_{K_{P}}}\end{array}\right)\label{eq:hlm_X_blocks}\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula \begin{equation}
e=\left(\begin{array}{c}
e^{O}\\
e^{L}\\
e^{P}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
e^{O_{1}}\\
\vdots\\
e^{O_{K_{O}}}\\
e^{L_{1}}\\
\vdots\\
e^{L_{K_{L}}}\\
e^{P_{1}}\\
\vdots\\
e^{P_{K_{P}}}\end{array}\right)\wedge e^{k}\sim N\left(0,\sigma_{k}^{2}I\right)\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Los índices 
\begin_inset Formula $O_{1}=1,\ldots,O_{K_{O}}$
\end_inset

 se refieren a los segmentos de regresión correspondientes a los nodos observaci
onales, 
\begin_inset Formula $L_{1}=O_{K_{O}}+1,\ldots,L_{K_{L}}=O_{K_{O}}+O_{K_{L}}$
\end_inset

 a los latentes y 
\begin_inset Formula $P_{1}=O_{K_{O}}+O_{K_{L}+1},\ldots,P_{K_{P}}=K$
\end_inset

, de forma que todos los segmentos existentes son 
\begin_inset Formula $K=K_{O}+K_{L}+K_{P}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Las dimensiones de los bloques son las siguientes
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
X^{O_{j}}\in\mathbb{R}^{m_{O_{j}}\times n_{O_{j}}}\\
X^{L_{j}}\in\mathbb{R}^{m_{L_{j}}\times n_{L_{j}}}\\
\nabla_{i}^{L_{j}}\in\mathbb{R}^{m_{L_{j}}\times n_{O_{i}}}\\
\nabla_{i}^{P_{j}}\in\mathbb{R}^{m_{P_{j}}\times n_{O_{i}}}\\
n_{O}={\displaystyle \sum_{k=1}^{K_{O}}n_{O_{k}}}\wedge n_{L}={\displaystyle \sum_{k=1}^{K_{L}}n_{L_{k}}}\wedge n=n_{O}+n_{L}\\
m_{O}={\displaystyle \sum_{k=1}^{K_{O}}m_{O_{k}}}\wedge m_{L}={\displaystyle \sum_{k=1}^{K_{L}}m_{L_{k}}}\wedge m_{P}={\displaystyle \sum_{k=1}^{K_{P}}m_{P_{k}}}\wedge m=m_{O}+m_{L}+m_{P}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Las matrices de coeficientes que ligan los nodos observacionales con los
 latentes 
\begin_inset Formula $\nabla_{O_{j}}^{L_{i}}$
\end_inset

 , al igual que las de 
\begin_inset Formula $\nabla_{O_{j}}^{P_{i}}$
\end_inset

 y los 
\begin_inset Formula $\nabla_{L_{j}}^{P_{i}}$
\end_inset

, son todas ellas diagonales con valores 1 ó 0 y estan conjuntamente restringida
s a que sólo una de entre todas ellas puede tener un 1 en una fila dada,
 y lo mismo para una columna específica.
 Es decir, una variable sólo puede estar relacionada con una sola ecuación
 de un nodo, bien latente bien a priori.
 Es decir, el bloque de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\nabla_{O}^{*}=\left(\begin{array}{c}
\nabla_{O}^{L}\\
\nabla_{O}^{P}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset

 tiene todas las celdas nulas excepto un máximo de 
\begin_inset Formula $n_{O}$
\end_inset

 celdas iguales a 1.
 Análogamente el bloque 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\nabla_{*}^{P}=\left(\begin{array}{cc}
\nabla_{O}^{P} & \nabla_{L}^{P}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset

tiene todas las celdas nulas excepto un máximo de 
\begin_inset Formula $n=n_{O}+n_{L}$
\end_inset

 celdas iguales a 1; y al mismo tiempo 
\begin_inset Formula $\nabla_{L}^{P}$
\end_inset

 tiene todas las celdas nulas excepto un máximo de 
\begin_inset Formula $n_{L}$
\end_inset

.
 La finalidad de estas restricciones es que se asegure que no existen ecuaciones
 incongruentes entre sí para un mismo parámetro hijo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se pone ahora de manifiesto la estructura sparse el modelo HLM de la que
 se venía hablando anteriormente.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sec:El-modelo-jerárquico-combinado"

\end_inset

El modelo jerárquico lineal de output combinado HLM-OC
\end_layout

\begin_layout Standard
Una generalización del modelo jerárquico que aparece de forma bastante natural
 es aquella en la que el output de un nodo latente o a priori no es directamente
 un único parámetro de un nodo hijo sino que puede ser cualquier combinación
 lineal de parámetros hijo.
 La estructura matricial de bloques es exactamente igual que la expresada
 en la ecuación 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "eq:hlm_X_blocks"

\end_inset

, sólo que ahora las matrices de bloque 
\begin_inset Formula $\nabla_{*}^{*}$
\end_inset

 no tienen porqué ser de valores 1 ó 0, sino que pueden tener valores arbitrario
s, aunque eso sí, se mantienen las mismas restricciones entre ellas, es
 decir, si un parámetro aparece en uno de esos bloques no debería aparecer
 en ningún otro, y además deben ser todas ellas de rango completo igual
 al número de filas de cada una.
\end_layout

\begin_layout Standard
La ecuación del nodo latente con output combinado sería de la forma 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\nabla\cdot\vartheta\sim N\left(X\cdot\eta,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

reescribible como
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
0=\nabla\cdot\vartheta-X\cdot\eta+e\\
e\sim N\left(0,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La ecuación del nodo a priori con output combinado sería de la forma 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\nabla\cdot\vartheta\sim N\left(\mu,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

reescribible como
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mu=\nabla\cdot\vartheta-X\cdot\eta+e\\
e\sim N\left(0,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Resulta evidente que no deja de ser un caso particular de la clase de modelos
 de BSR, e incluso lo seguiría siendo sin cumplir esas restricciones, las
 cuales tienen por único objetivo el asegurar que los modelos son congruentes.
 A veces, por comodidad, se relajará la notación y se llamará simplemente
 modelo jerárquico a esta generalización.
\end_layout

\begin_layout Section
Simulación de Gibbs
\end_layout

\begin_layout Standard
El método de simulación de Gibbs
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Standard
Ver 
\begin_inset LatexCommand cite
key "Bayesian-Data-Analysis"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 consiste en tomar cada variable o bloque de variables del cual se conoce
 un método de simulación para su distribución condicionada al resto de variables
 del modelo.
 Luego se actualizan los valores de ese bloque y toda aquella información
 auxiliar derivada de las mismas para pasar a simular otro bloque.
 Existen diversas estrategias para el orden de los bloques: ciclos, secuencias
 simétricas, selección aleatoria simple, selección de permutaciones aleatorias,
 etc.
 Empíricamente se ha observado que el mejor orden para esta clase de modelos
 es el siguiente:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Bloques de output omitidos
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Bloques de input omitidos
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Bloques ARMA
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Bloque de varianzas
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Bloque lineal
\end_layout

\begin_layout Standard
La simulación de cada bloque supone una serie de actuaciones sobre ciertas
 componentes del modelo que se ven afectadas por los cambios en dicho bloque.
 Por ejemplo, al cambiar los omitidos del output 
\begin_inset Formula $v^{\left(k\right)}$
\end_inset

 se modifica el output filtrado 
\begin_inset Formula $\check{Y}^{\left(k\right)}$
\end_inset

 y por tanto el diferenciado 
\begin_inset Formula $Y^{'\left(k\right)}$
\end_inset

, y lo mismo le ocurre a éste último si se tocan los parámetros ARMA del
 output.
 Es de vital importancia por tanto que estén perfectamente identificados
 todas las componentes auxiliares que comunican a unos bloques con otros
 y que el orden de simulación esté perfectamente establecido para que los
 condicionamientos se propaguen adecuadamente.
\end_layout

\end_body
\end_document