source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_Bayesian_Sparse_Regression.lyx

#LyX 1.6.5 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Title

\series bold
\size huge
BSR 1.0: Bayesian Sparse Regression
\end_layout

\begin_layout Author
Víctor de Buen
\end_layout

\begin_layout Author
\begin_inset VSpace vfill
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Email
vdebuen@gmail.com
\end_layout

\begin_layout URL
www.tol-project.org
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\series bold
\size huge
BSR 1.0: Bayesian Sparse Regression
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace 3cm*
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\size huge
Un sistema de simulación MCMC de modelos de regresión lineal sparse
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace 3cm*
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\series bold
\size largest
Guía del programador y manuales de usuario 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace 3cm*
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\series bold
\shape italic
\size larger
Octubre de 2008
\series default
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\begin_inset VSpace vfill
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Summary*
En este documento se presenta la versión inicial 1.0, aún en desarrollo,
 de un sistema abierto escrito en TOL
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
ver 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

www.tol-project.org
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 para la simulación e inferencia bayesianas de tipo MonteCarlo-Markov Chain
 (MCMC) mediante el algoritmo de Gibbs, sobre modelos de regresión lineal
 sparse con estructura arbitraria (jerárquicos, redes bayesianas, ...) con
 restricciones de desigualdad lineal, con tratamiento de omitidos y filtros
 no lineales, ambas tanto en el input como en el output, así como con estructura
s ARIMA.
\begin_inset VSpace vfill
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Gracias a Jorge Suit Pérez y Luis M.
 Artiles Martínez por su paciente revisión de errores, a José Almagro por
 la inspiración y a todo el equipo de Bayes en general por su apoyo incondiciona
l.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*
Introducción
\end_layout

\begin_layout Standard
BSR es un sistema de estimación de modelos por simulación bayesiana, cuyo
 objetivo es satisfacer de la forma más eficiente posible las necesidades
 más comunes que nos encontramos los analistas de datos a la hora de resolver
 los problemas de previsión que nos proponen nuestros clientes.
 Muy a menudo dichos problemas suelen ser planteables como modelos jerárquicos
 lineales, en adelante HLM (Hierarchical Lineal Model), en los que aparecen
 ciertas no linealidades en el nivel observacional, como la presencia de
 estructura ARIMA, datos omitidos en el input o el output, heterocedasticidad,
 etc.; así como algunos efectos aditivos no lineales más complejos como funciones
 de transferencia (deltas) y otros más particulares que pueden aparecer
 en algunos proyectos.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Cada uno de estos problemas es más o menos complicado de resolver, y el
 método utilizado para hacerlos cooperar es la simulación MCMC de Gibbs.
 El mayor problema técnico con diferencia proviene paradójicamente del teóricame
nte más sencillo, que es la parte lineal.
 Esto es debido a que, incluso en problemas no muy grandes, conlleva una
 cantidad de cálculo insoportable (complejidad cúbica), si no se trata de
 una forma específica para aprovechar la gran cantidad de ceros que contiene
 la matriz del diseño (sparse matrix).
 Se trata de un sistema bastante complejo que ha servido de motor de evolución
 de TOL, al arrastrar como elementos previos indispensables la incorporación
 de NameBlock, un nuevo tipo de datos orientado al objeto (OOP) y VMatrix,
 matrices con un sistema de operaciones diseñado para hacer transparente
 al usuario las cuestiones estructurales y algorítmicas del álgebra matricial,
 tanto denso (BLAS-LAPACK) como sparse (CHOLMOD).
 En versiones ulteriores, se incorporará también la posibilidad de trabajo
 en paralelo en memoria compartida (OpenMP) y distribuida (Open MPI), para
 poder atacar problemas de grandes dimensiones (cientos de miles o millones
 de variables).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Un sistema complejo y potente supone en principio una gran fuente de errores
 así como una dificultad extrema en su uso y aprendizaje, por lo que desde
 el primer momento se ha tenido en cuenta la triple vertiente: eficiencia
 en el diseño algorítmico, robustez de los resultados mediante tests diagnóstico
s y flexibilidad de manejo.
 Esta última característica se logra merced a un sistema de capas de interfaz
 (API's) de distintos niveles, las cuales se apoyan cada una en la anterior.
 Las capas más interiores son más complicadas de utilizar, pero son más
 flexibles y permiten diseñar modelos más complejos, como redes bayesianas,
 y cualquier tipo de regresión lineal generalizada con las extensiones comentada
s anteriormente, e incluso cualquier otra para la que se pueda dar un método
 de simulación condicionado al resto de componentes.
 Las capas exteriores son más rígidas pues se restringen a modelos cada
 vez más ceñidos a una clase muy concreta de modelos jerárquicos, pero a
 cambio ofrecen un manejo muy cómodo en el que el usuario define el modelo
 en unas pocas líneas de código TOL que queda registrado en una base de
 datos relacional (BsrHlm) que incluirá finalmente un resumen diagnóstico
 de los resultados obtenidos en la simulación.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta documentación se encuentra dividida en tres partes en función del tipo
 de lector objetivo, lo cual se indica en el prólogo de cada una, así que
 debe ser éste el que decida, en función de dichas indicaciones, qué partes
 debe leer con mayor atención y cuáles puede ojear o incluso eludir.
 Aunque cada una puede ser leída de forma independiente, las partes se presentan
 en el orden natural de dependencias:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Parte I: Documentación matemática de BSR
\end_layout

\begin_layout Itemize
Parte II: Guía del programador de BSR
\end_layout

\begin_layout Itemize
Parte III: Manual de usuario de BSR-HLM
\end_layout

\begin_layout Part
Documentación matemática de BSR
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta parte interesa a los desarrolladores matemáticos de BSR y a todos aquellos
 que deseen comprender cómo funcionan las cosas por dentro desde el punto
 de vista del cálculo numérico y la estadística.
 Aquí se describen los conceptos y algoritmos matemáticos manejados por
 BSR para la simulación, diagnosis e inferencia bayesianas de la clase de
 modelos admisible.
\end_layout

\begin_layout Standard
Estos son los requisitos matemáticos previos necesarios para comprender
 sin dificultad los conceptos y algoritmos presentados en esta parte:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Simulación e inferencia bayesianas
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Generalidades de los métodos de MonteCarlo
\end_layout

\begin_layout Itemize
Cadenas de Markov
\end_layout

\begin_layout Itemize
Método de Gibbs
\end_layout

\begin_layout Itemize
Método univariante ARMS 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Diagnosis (CODA)
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Modelos de regresión gaussiana
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Regresión lineal
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Distribución condicionada del bloque lineal
\end_layout

\begin_layout Itemize
Distribución condicionada de la varianza
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Regresión ARIMA 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Procesos estacionarios 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Ecuaciones en diferencias regulares y estacionales (factorización) 
\end_layout

\begin_layout Itemize
La función de autocovarianzas
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
El modelo jerárquico
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Nodos observacionales
\end_layout

\begin_layout Itemize
Nodos latentes
\end_layout

\begin_layout Itemize
Nodos a priori
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Redes bayesianas
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Estos son los resúmenes de cada capítulo:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
Definición de la clase de modelos admisibles en BSR
\emph default
: describe la clase de modelos admisibles en BSR así como el método de Gibbs
 por bloques aplicado para la simulación.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
El bloque lineal con restricciones lineales
\emph default
: Casi todos los modelos de regresión contienen uno o varios bloques lineales
 que suelen acumular la mayor parte de las variables por lo que es imprescindibl
e atacar su simulación de la manera más eficiente posible, especialmente
 si se trata de matrices sparse como es bastante habitual, sobre todo en
 modelos estructurados como los modelos jerárquicos o las redes bayesianas.
 También es muy importante poder forzar restricciones en forma de inecuaciones
 sobre los parámetros de este bloque lineal.
 Para ello es necesario manejar algoritmos sumamente eficientes de generación
 de multinormales truncadas, descomposiciones de Cholesky y resolución de
 sistemas lineales sparse y densos, que permitan al mismo tiempo conjugarse
 con otros bloques de variables (Sigma, ARMA, Missing, ...) dentro del marco
 del método de simulación de Gibbs.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
El bloque de varianzas
\emph default
: En un modelo de regresión con función de contraste arbitraria puede haber
 uno o varios bloques de de residuos que se postulan independientes de los
 que se quiere estimar su varianza.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
El bloque ARIMA
\emph default
: En la simulación de Gibbs de un modelo ARMA se puede utilizar el método
 de simulación univariante ARMS para obtener realizaciones de los parámetros
 ARMA, si se fuerza a que los polinomios AR y MA estén factorizados en monomios
 y binomios.
 La matriz de covarianzas de un proceso ARMA genérico de longitud 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es una matriz de Toeplitz simétrica que es más densa cuanto más cerca de
 la unidad estén las raíces de la parte AR.
 Para el caso MA puro es una matriz muy sparse de densidad aproximada 
\begin_inset Formula $q/m$
\end_inset

.
 En este artículo se describe una descomposición factorial de la matriz
 de covarianzas en el caso ARMA general mediante matrices sparse que se
 obtienen con coste computacional 
\begin_inset Formula $O\left(n^{2}m\right)$
\end_inset

, en lugar del coste 
\begin_inset Formula $O\left(m^{3}\right)$
\end_inset

 del método de Cholesky denso, donde 
\begin_inset Formula $n=\max\left(p,q\right)+1+p$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 los grados de los polinomios AR y MA respectivamente.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
El bloque de omitidos
\emph default
: En la simulación de Gibbs de una regresión lineal generalizada con datos
 omitidos en el input y en el output, si se condiciona al resto de parámetros,
 se obtiene otra regresión lineal cuyos parámetros son los valores omitidos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
El bloque no lineal
\emph default
: Muy a menudo se observan comportamientos de inputs que no actúan de forma
 lineal en el filtrado de fenómenos complejos.
 En el caso concreto de que la forma de actuar sea aditiva con respecto
 al ruido del modelo, es posible formalizar un método genérico ARMS de simulació
n de Gibbs de cada parámetro condicionado al resto.
 Se expone también el caso concreto de la función de transferencia no lineal
 (deltas).
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
Diagnosis
\emph default
: Cuando ya se dispone de una cadena de Markov para un modelo comienza la
 etapa de diagnosis que certifique la calidad de los resultados obtenidos
 e informe de la potencia alcanzable por las ulteriores inferencias que
 se puedan extraer de él.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
Mantenimiento y producción
\emph default
: Una vez que acaba la etapa de análisis y diseño de un modelo se pasa a
 la etapa de producción en la que el modelo se usará para hacer inferencia
 de una u otra forma: predicción, decisión, etc.
 Durante esta etapa el modelo debe mantenerse en estado de revista, es decir,
 debe ir adaptándose a los nuevos datos que vayan conociéndose e incorporando
 eventuales nuevas variables.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P1_S1_Clase_de_modelos.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
filename "BSR_P1_S2_Bloque_lineal.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P1_S3_Bloque_de_varianzas.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
filename "BSR_P1_S4_Bloque_ARIMA.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P1_S5_Bloque_de_omitidos.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P1_S6_Bloque_no_lineal.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P1_S7_Diagnosis.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P1_S8_Mantenimiento_y_produccion.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Part
Guía del programador de BSR
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta parte interesa a todos los desarrolladores de BSR y a todos aquellos
 que deseen comprender cómo funciona BSR por dentro desde el punto de vista
 informático.así como a los usuarios de BSR que se enfrenten a problemas
 complejos que no se pueden representar dentro del clásico modelo jerárquico
 lineal, bien porque se tengan estructuras reticulares, porque haya componentes
 lineales o por cualquier otra causa.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Aquí se describe la metodología de la implementación, tanto en C++ como
 en TOL y SQL de todo lo relacionado con el sistema BSR desde los algoritmos
 matemáticos a las API de definición de modelos; y también cómo sacarle
 el máximo partido a BSR utilizando la API virtual de definición de modelos
 así como la incorporación de las extensiones no lineales y cualquier otra
 modificación del modelo que sea representable como un bloque de Gibbs,
 independientemente del método de simulación interno al bloque, que puede
 ser Metropolis-Hastings o cualquier otro.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para llegar a una comprensión adecuada se debe haber entendido previamente
 la Parte I de este libro.
 Estos son los requisitos previos sobre TOL necesarios para comprender sin
 dificultad la implementación presentada en esta parte:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Nivel avanzado en las características de TOL hasta la versión 1.1.6
\end_layout

\begin_layout Itemize
Ciertos conocimientos mínimos sobre las nuevas características de la nueva
 versión de TOL 1.1.7, la primera sobre la que funciona BSR
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
NameBlock: 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://www.tol-project.org/es/node/40
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
VMatrix: 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://www.tol-project.org/es/node/90
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Estos son los resúmenes de cada capítulo:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
BysMcmc
\emph default
: Se describen los miembros y métodos generales del NameBlock BysMcmc cuyo
 propósito es aglutinar todas las funcionalidades relacionadas con la inferencia
 bayesiana basada en métodos de simulación MCMC (MonteCarlo Markov Chain)
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\emph on
BysMcmc::Bsr::Gibbs
\emph default
: Se describen los miembros y métodos generales del 
\series bold
NameBlock BysMcmc::Bsr::Gibbs
\series default
 que implementa los métodos de simulación propiamente dichos de la clase
 de modelos de BSR y sus extenciones.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P2_S1_BysMcmc.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P2_S2_Gibbs.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P2_S3_Formato_ASCII_BSR.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P2_S4_Import.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P2_S5_DynHlm.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\begin_layout Part
Manual de usuario de BSR-HLM
\end_layout

\begin_layout Standard
En esta parte interesa a todos los usuarios de BSR que se enfrenten a problemas
 que se pueden representar dentro del clásico modelo jerárquico lineal,
 con las extensiones de estructura ARIMA y datos omitidos en el nivel observacio
nal.
 Se describe la base de datos del sistema BSR-HLM, los métodos para interactuar
 con ella a diferentes niveles, usando la interfaz gráfica o una plantilla
 de modelo en TOL según las necesidades de cada caso.
 También se detallan los resultados obtenidos tras una simulación, los métodos
 de diagnosis y en general todo lo relacionado con el manejo básico de BSR
 tanto en la fase de análisis como en la de mantenimiento de un proyecto
 de modelación.
\end_layout

\begin_layout Standard
Estos son los resúmenes de cada capítulo:
\end_layout

\begin_layout Standard

\size larger
\color red
...
 pendiente!
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P3_S1_BsrHlm_base_de_datos.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P3_S2_BsrHlm_plantilla_de_modelo.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
preview true
filename "BSR_P3_S3_BsrHlm_casuistica.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Part
Referencias
\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "Bayesian Data Analysis"
key "Bayesian-Data-Analysis"

\end_inset

Bayesian Data Analysis, by Andrew Gelman, John B.
 Carlin, Hal S.
 Stern, and Donald B.
 Rubin
\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "Box-Jenkins"
key "Box-Jenkins"

\end_inset

George Box, Gwilym M.
 Jenkins, Time Series Analysis: Forecasting & Control, 1976 
\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "ARMS"
key "ARMS-Gilks-Best-Tan"

\end_inset

Gilks, W.
 R., Best, N.
 G.
 and Tan, K.
 K.
 C.
 (1995) Adaptive rejection Metropolis sampling.
 Applied Statistics, 44, 455-472.
\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "Sampling Truncated Multinormal"
key "Efficient_Gibbs_Sampling_Truncated_Multivariate_Normal"

\end_inset

Efficient Gibbs Sampling of Truncated Multivariate Normal with Application
 to Constrained Linear Regression.
 Gabriel Rodriguez-Yam, Richard A.
 Davis, and Louis L.
 Scharf.
 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://www.stat.colostate.edu/~rdavis/papers/CLR.pdf
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "One Sample Wilcoxon Test"
key "Small-Sample-Power-of-the-One-Sample-Wilcoxon-Test-for-Non-Normal-Shift-Alternatives"

\end_inset

Small Sample Power of the One Sample Wilcoxon Test for Non-Normal Shift
 Alternatives.
 Harvey J.
 Arnold.
 Source: Ann.
 Math.
 Statist.
 Volume 36, Number 6 (1965), 1767-1778.
 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ao
ms/1177699805
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "ARCH in UK"
key "ARCH-UK"

\end_inset

Robert F.
 Engle, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of
 Variance of United Kingdom Inflation, 1982 
\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "GARCH"
key "GARCH"

\end_inset

Tim Bollerslev, Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,
 1986 
\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "User Guide for CHOLMOD"
key "Cholmod_User_Guide"

\end_inset

User Guide for CHOLMOD: a sparse Cholesky factorization and modification
 package.
 Timothy A.
 Davis Dept.
 of Computer and Information Science and Engineering Univ.
 of Florida, Gainesville, FL.
 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/cholmod/CHOLMOD/Doc/UserGuide.pdf
\end_layout

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "The quadprog R Package"
key "QuadProg-R-Package"

\end_inset

The quadprog Package: Functions to solve Quadratic Programming Problems.S
 original by Berwin A.
 Turlach <berwin.turlach@anu.edu.au> R port by Andreas Weingessel <Andreas.Weingesse
l@ci.tuwien.ac.at>.
 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://cran.r-project.org/web/packages/quadprog/quadprog.pdf
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Bibliography
\begin_inset CommandInset bibitem
LatexCommand bibitem
label "CODA"
key "CODA-Convergence-diagnosis-output-analysis"

\end_inset

CODA: Convergence diagnosis and output analysis software for Gibbs sampling
 output, Version 0.30 (1995) by Nicky Best, Mary Kathryn Cowles, Karen Vines
 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.48.6445&rep=rep1&type=pdf
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document