source: tol/doc/modeling/ARIMA_Estimate/EstimadoresAditivosDeEfectos.lyx

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\layout Title

Estimadores aditivos de efectos
\layout Author

Víctor de Buen
\layout Abstract

Se obtienen métodos estadísticos que miden los efectos en términos originales
 de las variables independientes en modelos estadísticos univariantes con
 filtro lineal, cuando la variable dependiente se introduce bajo transformación
 no lineal.
 Se hará especial hincapié en la transformación logarítmica bajo supuesto
 de normalidad y en el caso en el que se busca una descomposición aditiva
 de grupos de efectos.
 Se utilizará la nomenclatura típica del análisis de series temporales pero
 los resultados son válidos para cualquier tipo de magnitud de ordenamiento
 de los vectores.
 Se suponen conocimientos de regresión lineal y de optimización no lineal
 con restricciones.
\layout Paragraph

Introducción
\layout Standard

La métrica en la que se introduce en un modelo la variable aleatoria dependiente
, se debe escoger teniendo en cuenta la naturaleza de la magnitud observada,
 la forma en que las variables independendientes interactúan con la misma,
 y en virtud de criterios estadísticos como la homocedasticidad o el análisis
 de frecuencias de los residuos.
 
\layout Standard

Sin embargo, a veces es necesario conocer en términos originales cuál es
 la influencia de cada input en particular, o de ciertos grupos de inputs
 que den una descomposición aditiva de la variable estudiada, para alcanzar
 así una visión más gráfica e intuitiva del comportamiento del modelo.
 De esto precisamente nos encargaremos a continuación.
 
\layout Paragraph

Antecedentes
\layout Standard

En el caso general de modelos univariantes con filtro lineal se tendrá que
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
T\left(z_{t}\right)-\sum_{k=1}^{K}\omega_{k}x_{kt}=e_{t}\forall t=1\ldots N\]

\end_inset 

donde
\layout Enumerate

el output 
\begin_inset Formula $z_{t}$
\end_inset 

 o variable dependiente del modelo es un vector aleatorio; y 
\layout Enumerate

el ruido 
\begin_inset Formula $e_{t}$
\end_inset 

, son realizaciones de una variable aleatoria de la que no se tiene control
 ni observación directa pero que se postula con cierta distribución de probabili
dad que puede ser fija o variable en el espacio de índices y de la que se
 pueden deducir diferentes propiedades.
 Para su cálculo puede utilizarse un conjunto de parámetros adicionales
 que no vienen al caso en este estudio, como por ejemplo los coeficientes
 polinomiales si se tratara de un modelo ARIMA;
\layout Enumerate

los inputs 
\begin_inset Formula $x_{kt}$
\end_inset 

 o variables independientes pueden ser tanto aleatorias como deterministas;
\layout Enumerate

los parámetros del filtro lineal 
\begin_inset Formula $\omega_{k}$
\end_inset 

 se estiman junto aquellos posibles parámetros que intervengan en el cálculo
 del ruido;
\layout Enumerate


\begin_inset Formula $T:D\subset\Re\rightarrow I\subset\mathfrak{\Re}$
\end_inset 

 es una función de transformación biyectiva en su dominio con función inversa
 conocida 
\begin_inset Formula $T^{-1}:I\subset\mathfrak{\Re}\rightarrow D\subset\Re$
\end_inset 

;
\layout Paragraph

Definiciones
\layout Standard

Supongamos que deseamos saber qué parte de 
\begin_inset Formula $z_{t}$
\end_inset 

 se debe exclusivamente al input 
\begin_inset Formula $x_{jt}$
\end_inset 

.
 En primer lugar definiremos la variable aleatoria 
\emph on 
output filtrado del input 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset 

-ésimo
\emph default 
 
\begin_inset Formula $z_{jt}$
\end_inset 

 correspondiente al valor del output si no existiera el efecto del input
 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset 

-ésimo 
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
T\left(z_{jt}\right)-\sum_{k\neq j}\omega_{k}x_{kt}=T\left(z_{t}\right)-\sum_{k=1}^{K}\omega_{k}x_{kt}=T\left(z_{t}\right)-\omega_{j}x_{jt}-\sum_{k\neq j}\omega_{k}x_{kt}\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
T\left(z_{jt}\right)=T\left(z_{t}\right)-\omega_{j}x_{jt}\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
z_{jt}=T^{-1}\left(T\left(z_{t}\right)-\omega_{j}x_{jt}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard

La diferencia con el valor real es la variable aleatoria buscada, o sea,
 el 
\emph on 
efecto o filtro en términos originales del input 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset 

-ésimo
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
f_{jt}=z_{t}-z_{jt}=z_{t}-T^{-1}\left(T\left(z_{t}\right)-\omega_{j}x_{jt}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard

Se define también el 
\emph on 
efecto o filtro conjunto en términos originales de un subconjunto de inputs
\emph default 
 de al menos dos elementos 
\begin_inset Formula $J\subset K$
\end_inset 

 como
\begin_inset Formula \[
F_{Jt}=z_{t}-T^{-1}\left(T\left(z_{t}\right)-\sum_{i\in J}\omega_{i}x_{it}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard

Por último, se define el
\emph on 
 efecto o filtro global
\emph default 
 de todos los inputs o simplemente filtro como
\begin_inset Formula \[
F_{t}=z_{t}-T^{-1}\left(T\left(z_{t}\right)-\sum_{i=1}^{K}\omega_{i}x_{it}\right)\]

\end_inset 


\layout Subparagraph

Caso de la transformación logarítmica
\layout Standard

Por ejemplo, en el caso de la distribución logarítmica se tiene que el efecto
 en términos originales es
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
f_{jt}=z_{t}-z_{jt}=z_{t}-\exp\left(\ln\left(z_{t}\right)-\omega_{j}x_{jt}\right)=z_{t}\left(1-\exp\left(-\omega_{j}x_{jt}\right)\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
F_{Jt}=z_{t}\left(1-\exp\left(-\sum_{i\in J}\omega_{i}x_{it}\right)\right)\]

\end_inset 


\layout Standard

En este caso se dice que los inputs producen efectos multiplicativos por
 aplicarse el filtro en forma exponencial.
 Obsérvese también que cuando el valor del filtro transformado es uniformemente
 bastante más pequeño que 1 en valor absoluto, entonces su exponencial se
 puede aproximar como
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\exp\left(-x\right)=1-x+O\left(x^{2}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
f_{jt}=z_{t}\left(\omega_{j}x_{jt}+O\left(\left(\omega_{j}x_{jt}\right)^{2}\right)\right)\]

\end_inset 


\layout Standard

Por este motivo a veces se interpreta el efecto en términos de porcentaje
 sobre la serie original, aunque se trata simplemente de una aproximación
 que no siempre es válida.
\layout Paragraph

Descripción del problema general
\layout Standard

Obsérvese que si, como en el ejemplo anterior, la transformación es no lineal
 entonces las esperanzas de los efectos en términos originales no son aditivas,
 es decir, la esperanza del efecto unión de dos o más inputs no es igual
 a la esperanza de la suma de los efectos por separado
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
E\left[F_{Jt}\right]\neq\sum_{j\in J}E\left[f_{jt}\right]\]

\end_inset 

y lo mismo le puede pasar a otros estimadores como el máximo verosímil.
 De forma general se puede exigir que se cumpla la propiedad aditiva con
 respecto a varios subconjuntos de al menos 
\begin_inset Formula $J_{s}\forall s=1\ldots S$
\end_inset 


\layout Standard

Sin embargo se pueden construir otros estimadores de los efectos basados
 en estimadores de las realizaciones no observadas 
\begin_inset Formula $\widetilde{\omega}_{jt}$
\end_inset 

 en cada posición 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset 

 de los parámetros 
\begin_inset Formula $\omega_{j}$
\end_inset 

, de los cuales sí que tenemos al menos alguna aproximación de su distribución
 conjunta
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{f}_{jt}=z_{t}-T^{-1}\left(T\left(z_{t}\right)-\widetilde{\omega}_{jt}x_{jt}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{F}_{st}=\widetilde{F}_{J_{s}t}=z_{t}-T^{-1}\left(T\left(z_{t}\right)-\sum_{i\in J_{s}}\widetilde{\omega}_{it}x_{it}\right)\]

\end_inset 

Buscaremos estos estimadores de forma que sean congruentes con la propiedad
 aditiva respecto a la familia de subconjuntos 
\begin_inset Formula $\left\{ J_{s}\right\} _{s=1\ldots S}$
\end_inset 

 o sea, que cumplan las propiedades
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{F}_{J_{s}t}-\sum_{j\in J_{s}}\widetilde{f}_{jt}=0\forall s=1\ldots S\]

\end_inset 

 al mismo tiempo que alcanzan alguna propiedad típica de los estimadores
 como que los 
\begin_inset Formula $\widetilde{\omega}_{j}$
\end_inset 

 tengan máxima verosimilitud.
 Es decir se trata de añadir una lista de restricciones al método estadístico
 de estimación seleccionado.
 
\layout Standard

Nótese que el número de restricciones 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset 

 no puede superar al de inputs implicados 
\begin_inset Formula $C=card\left[\bigcup_{s=1}^{S}J_{s}\right]$
\end_inset 

 .
 Si se pretendiera conseguir un conjunto de estimadores completamente aditivos
 habría que incluir todos los subconjuntos de dos o más inputs, es decir,
 tendríamos 
\begin_inset Formula $S=2^{K}-K$
\end_inset 

 restricciones lo cual sería inviable en la práctica con apenas unos pocos
 inputs.
 Por lo tanto hay que ser cautos al elegir los subconjuntos de inputs sobre
 los que se pretende que se cumpla la aditividad.
 
\layout Standard

Si los subconjuntos de inputs tienen una jerarquía o estructura arbórea,
 entonces se pueden añadir las condiciones de aditividad correspondientes
 a cada nodo de forma trivial sin aumentar demasiado la complejidad.
\layout Paragraph

Una solución máximo-verosímil en caso de normalidad
\layout Standard

En este caso se tiene al menos una estimación de la media y de la matriz
 de covarianzas de los parámetros y en el caso de residuos normales los
 parámetros siguen una t de student multivariante que se puede aproximar
 por una multinormal:
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\omega=\left(\omega_{j}\right)~N\left(\widehat{\omega}=\left(\widehat{\omega}_{j}\right),\Sigma=\left(\sigma_{ij}\right)\right)\wedge i,j\in\bigcup_{s=1}^{S}J_{s}\]

\end_inset 

donde supondremos independencia entre los inputs, es decir: 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset 

 es definida positiva y existe una transformación del tipo 
\begin_inset Formula $\Sigma=L\cdot L^{T}$
\end_inset 

.
\layout Standard

Nótese que se refiere a los índices implicados en la familia de subconjuntos
 de inputs que no tienen porqué ser todos los del filtro lineal.
 Resolveremos el problema para cada 
\begin_inset Formula $t=1\ldots N$
\end_inset 

 por separado, para disminuir la complejidad aunque las variables no tienen
 porqué ser independientes, por lo que podemos prescindir de dicho índice.
 Tomando la transformación 
\begin_inset Formula $\zeta=L^{-1}\left(\widetilde{\omega}-\widehat{\omega}\right)$
\end_inset 

 el problema es entonces el de maximizar la verosimilitud bajo el supuesto
 de normalidad es equivalente al de minimizar
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\min\zeta^{T}\zeta\]

\end_inset 

sujeto a las restricciones
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{F}_{J_{s}}-\sum_{j\in J_{s}}\widetilde{f}_{j}=0\forall s=1\ldots S\]

\end_inset 

donde recordamos que
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{\omega}=\widehat{\omega}+L\zeta\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{f}_{j}=z-T^{-1}\left(T\left(z\right)-\widetilde{\omega}_{j}x_{j}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{F}_{s}=z-T^{-1}\left(T\left(z\right)-\sum_{i\in J}\widetilde{\omega}_{i}x_{i}\right)\]

\end_inset 


\layout Subparagraph

Caso de la transformación logarítmica
\layout Standard

El problema en este caso se plantea del siguiente modo
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\min_{\delta}\zeta^{T}\zeta\]

\end_inset 

sujeto a las restricciones
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
z\left(1-\exp\left(-\sum_{i\in J}\widetilde{\omega}_{i}x_{i}\right)\right)=z\left(\sum_{j\in J_{s}}\left(1-\exp\left(-\widetilde{\omega}_{j}x_{j}\right)\right)\right)\forall s=1\ldots S\]

\end_inset 

que también se pueden escribir así
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
1-\exp\left(-\sum_{i\in J}\widetilde{\omega}_{i}x_{i}\right)=C_{s}-\sum_{j\in J_{s}}\exp\left(-\widetilde{\omega}_{j}x_{j}\right)\forall s=1\ldots S\]

\end_inset 

donde 
\begin_inset Formula $C_{s}=card\left(J_{s}\right)$
\end_inset 


\layout Paragraph

Una variante del problema: descomposición aditiva del filtro global
\layout Standard

El caso más usual en la práctica, al que llamaremos
\emph on 
 descomposición aditiva del filtro global
\emph default 
, es aquel en el que se tienen los inputs agregados parcialmente en efectos
 del mismo tipo y se desea que la suma de los efectos en términos originales
 sea igual al efecto conjunto total máximo-verosímil, es decir, se tiene
 una partición 
\begin_inset Formula $\left\{ J_{u}\right\} _{u=1\ldots U}$
\end_inset 

 de 
\begin_inset Formula $\left\{ 1\ldots K\right\} $
\end_inset 

 y se ha de cumplir, prescindiento del subíndice 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset 

 
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\sum_{u=U}^{U}\widetilde{F}_{u}=\widehat{F}\]

\end_inset 

donde
\begin_inset Formula \[
\widetilde{F}_{u}=\widetilde{F}_{J_{u}}=z-T^{-1}\left(T\left(z\right)-\sum_{i\in J_{u}}\widetilde{\omega}_{i}x_{i}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widehat{F}=z-T^{-1}\left(T\left(z\right)-\sum_{i=1}^{K}\widehat{\omega}_{i}x_{i}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard

Es decir se da por buena la estimación conjunta para que no interfiera con
 la transformación máximo-verosímil del ruido del modelo y se modifican
 sólo las estimaciones de los grupos de inputs para que den una descomposición
 aditiva del filtro total en términos originales.
\layout Subparagraph

La solución máximo-verosímil en caso de normalidad
\layout Standard

En este caso los parámetros de los inputs pertenecientes al mismo grupo
 pueden modificarse solidariamente puesto que sólo se tiene en cuenta la
 suma de sus efectos.
 Puesto que los parámetros 
\begin_inset Formula $\omega_{j}$
\end_inset 

 siguen aproximadamente una multinormal conocida, cualquier vector de combinacio
nes lineales de ellos es una multinormal conocida.
 En este caso definiremos
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
g=~N\left(\widehat{g},\Upsilon=\left(\gamma_{uv}\right)_{u,v=1\ldots U}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
g_{u}=\sum_{i\in J_{u}}\omega_{j}x_{i}\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widehat{g}_{u}=\sum_{i\in J_{u}}\widehat{\omega}_{j}x_{i}\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\gamma_{uv}=\sum_{i\in J_{u}}\sum_{j\in J_{v}}\sigma_{ij}x_{i}x_{j}\]

\end_inset 


\layout Standard

Ahora habría que minimizar las nuevas sumas de cuadrados, donde, por comodidad
 notacional se ha usado de nuevo la letra 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset 

 para descomponer la nueva matriz de covarianzas 
\begin_inset Formula $\Upsilon=L\cdot L^{T}$
\end_inset 

, que evidentemente es también definida positiva.
 Tomando la transformación 
\begin_inset Formula $\eta=L^{-1}\left(g-\widehat{g}\right)$
\end_inset 

 el problema es entonces el de minimizar
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\min y\left(\eta\right)=\eta^{T}\eta\]

\end_inset 

sujeto a la restricción no lineal
\begin_inset Formula \[
h\left(\eta\right)=\sum_{u=U}^{U}z-T^{-1}\left(T\left(z\right)-\left(\widehat{g}_{u}+\sum_{v=1}^{U}L_{uv}\eta_{v}\right)\right)-\widehat{F}=0\]

\end_inset 


\layout Subparagraph

Una solución aproximada
\layout Standard

Si no tenemos suficiente información o recursos de cálculo adecuados una
 solución aproximada de este problema sería repartir la discordancia, volviendo
 a poner los índices 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset 

 para mayor claridad
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
d_{t}=\widehat{F}_{t}-\sum_{u=1}^{U}\widehat{F}_{ut}\]

\end_inset 

de forma proporcional a una medida de dispersión 
\begin_inset Formula $s_{u}$
\end_inset 

 de las series 
\begin_inset Formula $F_{ut}$
\end_inset 

, como por ejemplo podría ser
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
s_{u}=T^{-1}\left(\sqrt{\gamma_{uu}}\right)\]

\end_inset 

y calculando los estimadores de los filtros como 
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{F}_{ut}=\widehat{F}_{ut}+\frac{s_{u}d}{\sum_{v=1}^{U}s_{v}}\]

\end_inset 

que evidentemente dan una descomposición aditiva
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\sum_{u=U}^{U}\widetilde{F}_{ut}=\sum_{u=U}^{U}\left(\widehat{F}_{ut}+\frac{s_{u}d}{\sum_{v=1}^{U}s_{v}}\right)=\sum_{u=U}^{U}\widehat{F}_{ut}+d=\widetilde{F}_{ut}\]

\end_inset 


\layout Standard

Es decir modificamos más los filtros más variables y menos los más estables
 para alcanzar el objetivo de una forma muy rápida, aunque no muy robusta,
 ya que la medida de dispersión elegida no concuerda exáctamente con la
 correspondiente a la función de verosimilitud.
\layout Paragraph*

Descomposición aditiva del filtro global bajo transformación logarítmica
\layout Standard

En este caso los filtros en términos originales se definen como
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widetilde{F}_{u}=z\left(1-\exp\left(-g_{u}\right)\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\widehat{F}=z\left(1-\exp\left(-\sum_{u=1}^{U}g_{u}\right)\right)\]

\end_inset 


\layout Subparagraph

La solución máximo-verosímil en caso de normalidad
\layout Standard

El problema es el de minimizar
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\min y\left(\eta\right)=\eta^{T}\eta\]

\end_inset 

sujeto a la restricción no lineal
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
h\left(\eta\right)=\sum_{u=1}^{U}\left(1-\exp\left(-\widehat{g}_{u}-\sum_{v=1}^{U}L_{uv}\eta_{v}\right)\right)-\frac{\widehat{F}}{z}=0\]

\end_inset 

reescribible como
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
h\left(\eta\right)=U-\frac{\widehat{F}}{z}-\sum_{u=1}^{U}\exp\left(-\widehat{g}_{u}-\sum_{v=1}^{U}L_{uv}\eta_{v}\right)=0\]

\end_inset 

o en forma matricial
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
h\left(\eta\right)=\kappa-\mathbf{1}_{U}^{T}\chi\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 

donde
\begin_inset Formula \[
\kappa=U-\frac{\widehat{F}}{z}\]

\end_inset 


\begin_inset Formula \[
\mathbf{1}_{U}^{T}=\left(1\ldots1\right)\in\Re^{1\times U}\]

\end_inset 


\begin_inset Formula \[
\chi\left(\eta\right)=\left(\chi_{u}\left(\eta\right)\right)_{u=1\ldots U}\in\Re^{U\times1}\]

\end_inset 


\begin_inset Formula \[
\chi_{u}\left(\eta\right)=\exp\left(-\widehat{g}_{u}-\sum_{v=1}^{U}L_{uv}\eta_{v}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard

Utilizaremos también la notación matricial 
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\chi\left(\eta\right)=\exp\left(-\widehat{g}-L\eta\right)\]

\end_inset 

en la que exponencial se aplica elemento a elemento del vector.
\layout Standard

Al haber sólo restricciones de igualdad es lo mismo que minimizar sin restriccio
nes la función lagrangiana
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\min\mathcal{L}\left(\eta,\lambda\right)=y\left(\eta\right)+\lambda h\left(\eta\right)\]

\end_inset 

y lo mismo que resolver el sistema de 
\begin_inset Formula $U+1$
\end_inset 

 ecuaciones no lineales
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\bigtriangledown_{\eta}\mathcal{L}\left(\eta,\lambda\right)=\bigtriangledown_{\eta}y\left(\eta\right)+\lambda\bigtriangledown_{\eta}h\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
h\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 


\layout Standard

Puesto que 
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\bigtriangledown_{\eta}y\left(\eta\right)=2\eta\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\bigtriangledown_{\eta}h\left(\eta\right)=L^{T}\chi\left(\eta\right)\]

\end_inset 

se tiene el sistema no lineal
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
2\eta+\lambda L^{T}\chi\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\kappa-\mathbf{1}_{U}^{T}\chi\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 


\layout Standard

Obsérvese que la primera ecuación es en realidad una identidad vectorial
 de 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset 

 ecuaciones mientras que la primera es una identidad escalar.
 Multiplicamos ambas ecuaciones por los premultiplicadores del término no
 lineal 
\begin_inset Formula $\chi\left(\eta\right)$
\end_inset 

 en la otra ecuación para obtener el par de ecuaciones escalares
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
2\mathbf{1}_{U}^{T}L^{-T}\eta+\lambda\mathbf{1}_{U}^{T}\chi\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\lambda\kappa-\lambda\mathbf{1}_{U}^{T}\chi\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 

De la suma de ambas se deduce
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
2\mathbf{1}_{U}^{T}L^{-T}\eta+\lambda\kappa=0\]

\end_inset 

lo cual permite despejar
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\lambda=\frac{-2\mathbf{1}_{U}^{T}L^{-T}\eta}{\kappa}\]

\end_inset 

y sustituir en las ecuaciones originales para obtener el siguiente sistema
 no lineal
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\kappa\eta-\left(\mathbf{1}_{U}^{T}L^{-T}\eta\right)L^{T}\chi\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\kappa-\mathbf{1}_{U}^{T}\chi\left(\eta\right)=0\]

\end_inset 


\layout Subparagraph

Algoritmo
\layout Standard

A continuación se ofrece un método iterativo no diferencial diseñado 
\shape italic 
ad-hoc
\shape default 
 para este problema.
 Obsérvese que si 
\begin_inset Formula $\kappa=0$
\end_inset 

 entonces la solución trivial es válida, es decir, 
\begin_inset Formula $\eta=0$
\end_inset 

.
 En otro caso se parte de una solución trivial de la segunda ecuación
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\chi_{u}^{\left(1\right)}=\frac{\kappa}{U}\forall u=1\ldots U\]

\end_inset 

y se ejecuta un ciclo cuya 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-esima iteración sería en notación matricial
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\eta^{\left(n\right)}=L^{-1}\left(-\widehat{g}-\ln\left(\chi^{\left(n\right)}\right)\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\eta^{\left(n+1\right)}=\frac{1}{k}\left(\mathbf{1}_{U}^{T}L^{-T}\eta^{\left(n\right)}\right)L^{T}\chi^{\left(n\right)}\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
x=\exp\left(\widehat{g}+L\eta^{\left(n+1\right)}\right)\]

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\chi^{\left(n+1\right)}=\frac{\kappa}{U\mathbf{1}_{U}^{T}x}x\]

\end_inset 


\layout Standard

Obsérvese que las funciones logaritmo y exponencial se aplican elemento
 a elemento del vector.
\the_end