source: tol/doc/kernel/matrix/VirtualMatrix.lyx @ 40407af

#LyX 1.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 221
\textclass article
\begin_preamble
%\documentclass[spanish]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{varioref}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\usepackage{graphics}
\usepackage{graphicx}
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\usepackage{color}
\usepackage{multicol}
\usepackage{longtable}

%\usepackage{makeidx}
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\makeindex

\hypersetup{urlbordercolor=0 0 0,pdfborder=0 0 1 [3 2]}
\end_preamble
\language spanish
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\paperfontsize default
\spacing single 
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\tocdepth 3
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\quotes_language english
\quotes_times 2
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default

\layout Title

Virtual Matrix en TOL
\layout Author

Jorge Suit Pérez y Víctor de Buen
\layout Abstract

La implementación de matrices virtuales pretende dotar al lenguaje de programaci
ón TOL
\begin_inset Foot
collapsed false

\layout Standard

TOL:
\emph on 
 Time Oriented Language
\emph default 
, un lenguage interpretado de programación
\emph on 
 open-source
\emph default 
 cuya página web es 
\begin_inset LatexCommand \htmlurl[TOL-project]{http://www.tol-project.org}

\end_inset 

 y que ha desarrollado por el grupo 
\begin_inset LatexCommand \htmlurl[Bayes]{http://www.bayesforecast.com}

\end_inset 


\end_inset 


\emph on 
 
\emph default 
de un mecanismo de definición de matrices de forma implícita con el doble
 objetivo de ahorrar memoria, al no tener que almacenar explícitamente todas
 las celdas de la matriz; y permitir al mismo tiempo la utilización de algoritmo
s específicamente diseñados para formas especiales de matrices (Sparse,
 Toeplitz, Vandermonde, ...)
\layout Section

Definición genérica de matriz virtual
\layout Standard

Una matriz virtual puede definirse de formas muy variopintas pero es necesario
 contar con un interfaz mínimo común con el que interactuar con los posibles
 algoritmos de una forma inequívoca y eficaz.
 La estructura TOL podría definirse de esta forma:
\layout LyX-Code

Struct VMatrix 
\layout LyX-Code

{ 
\layout LyX-Code

  Text      type_,
\layout LyX-Code

  Anything  param_,
\layout LyX-Code

  Set       methods_,
\layout LyX-Code

  Set       properties_
\layout LyX-Code

};
\layout Enumerate


\emph on 
Text type_
\emph default 
: Identifica el tipo de matriz virtual que se usará para asegurar que se
 puede utilizar un método concreto con los objetos de dicho tipo o bien
 dar los errores o warnings pertinentes.
 Esta etiqueta será mejor usarla en modo 
\shape italic 
case insensitive
\shape default 
, es decir sin distinguir mayúsculas de minúsculas.
\layout Enumerate


\emph on 
Anything param_
\emph default 
: Parámetros opcionales, dependientes del tipo de matriz virtual, que constituye
n la información básica utilizada por los métodos genéricos de acceso.
 Si es un sólo objeto se puede introducir tal cual, y si no, como un conjunto
 de objetos con estructura arbitraria dependiente del tipo de matriz.
 Si no se precisan argumentos opcionales se pasará el conjunto 
\family typewriter 
Empty
\family default 
.
\layout Enumerate


\emph on 
Set methods_
\emph default 
: Conjunto de métodos de acceso eficaz a las propiedades de la matriz, lo
 cual depende tanto del tipo de matriz como de los algoritmos que se le
 van a aplicar.
 En casos especiales de aplicación de un método particular que no precise
 usar todos estos métodos, o bien ya estén predefinidos para el tipo de
 matriz virtual, entonces se pueden omitir pasando el conjunto 
\family typewriter 
Empty
\family default 
.
\layout Enumerate


\emph on 
Set properties_
\emph default 
: Conjunto de propiedades estructurales conocidas de la matriz, como por
 ejemplo si se trata o no de una matriz.
 Existen propiedades primarias con etiqueta propia, propiedades derivadas
 de la mezcla de otras y propiedades incompatibles entre sí
\begin_deeper 
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsSqr=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Sqr
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para especificar que la matriz es cuadrada, { 
\begin_inset Formula $Rows\left(A\right)=Cols\left(A\right)$
\end_inset 

 }
\begin_inset Foot
collapsed false

\layout Standard

VMP son las siglas de Virtual Matrix Property
\end_inset 


\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsVer=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Ver
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para especificar que la matriz es vertical, { 
\begin_inset Formula $Rows\left(A\right)>Cols\left(A\right)$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsHor=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Hor
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para especificar que la matriz es horizontal, { 
\begin_inset Formula $Rows\left(A\right)<Cols\left(A\right)$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsReg=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Reg
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para especificar que la matriz es regular, { 
\begin_inset Formula $rank\left(A\right)=Min\left\{ Rows\left(A\right),Cols\left(A\right)\right\} $
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsSym=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Sym
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
,
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Sqr
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para especificar que la matriz es simétrica, { 
\begin_inset Formula $A_{i,j}=A_{j,i}$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsLowTri=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
LowTri
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para matrices triangulares inferiores no necesariamente cuadradas, {
 
\begin_inset Formula $A_{i,j}=0\forall i>j$
\end_inset 

}
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsUppTri=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
UppTri
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para matrices triangulares superiores no necesariamente cuadradas, {
 
\begin_inset Formula $A_{i,j}=0\forall i<j$
\end_inset 

}
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsColVec=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Ver
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
,
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Vec
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
,
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
LowTri
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para especificar que la matriz es un vector columna, { 
\begin_inset Formula $Rows\left(A\right)=1$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsRowVec=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Hor
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
,
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Vec
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
,
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
UppTri
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para especificar que la matriz es un vector fila, { 
\begin_inset Formula $Cols\left(A\right)=1$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsDiag=Set VMP_IsLowTri+VMP_IsUppTri+VMP_IsSym
\family default 
 : para matrices diagonales, { 
\begin_inset Formula $A_{i,j}=0\forall i\neq j$
\end_inset 

} Obsérvese que una matiz puede ser triangular por arriba y por abajo pero
 no cuadrada, en cuyo caso no se considerará como matriz diagonal, aunque
 lo sea de forma incompleta.
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_HasUnitDiag=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
UnitDiag
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para matrices con diagonal constante igual a 1, { 
\begin_inset Formula $A_{i,i}=1$
\end_inset 

}
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsOrthCols=VMP_IsOrth=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
OrthCols
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
,
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Reg
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para matrices ortogonales por columnas o simplemente otrtogonales, {
 
\begin_inset Formula $A^{T}A\; is\: diagonal$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsOrthRows=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
OrthRows
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
,
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
Reg
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para matrices ortogonales por filas, { 
\begin_inset Formula $AA^{T}\; is\: diagonal$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_HasUnitCols=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
UnitCols
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para matrices de columnas con norma unitaria, { 
\begin_inset Formula $A^{T}A\; has\: unit\: diagonal$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_HasUnitRows=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
UnitRows
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para matrices de filas con norma unitaria, { 
\begin_inset Formula $AA^{T}\; has\: unit\: diagonal$
\end_inset 

 }
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsOrthNormCols = VMP_IsOrth+VMP_HasUnitCols
\family default 
 : para matrices ortonormales por columnas, o simplemente ortonormales
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsOrthNormRows = VMP_IsOrth+VMP_HasUnitRows
\family default 
 : para matrices ortonormales por filas
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsTriDiag=[[
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
TriDiag
\family default 

\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\family typewriter 
]]
\family default 
 : para matrices tridiagonales no necesariamente cuadradas, { 
\begin_inset Formula $A_{i,j}=0\forall\left|i-j\right|>1$
\end_inset 

}
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsLowBiDiag=VMP_IsTriDiag+VMP_LowTri
\family default 
 : para matrices bidiagonales inferiores no necesariamente cuadradas
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsUppBiDiag=VMP_IsTriDiag+VMP_UppTri
\family default 
 : para matrices bidiagonales superiores no necesariamente cuadradas
\layout Enumerate


\family typewriter 
Set VMP_IsIdent=VMP_IsDiag+VMP_HasUnitDiag+IsOrthNormCols+IsOrthNormRows+VMP_IsT
riDiag
\family default 
 : para la matriz identidad,
\layout Enumerate

etc.
\end_deeper 
\layout Standard

Se ha visto que una matriz puede mezclar varias propiedades, pero estas
 mezclas no se pueden dar de forma arbitraria, por lo que será necesario
 incorporar un sistema de control de congruencia.
 Estas propiedades sólo aseguran que de presentarse en la lista la propiedad
 se cumple, pero en caso contrario simplemente se entenderá que se desconoce
 si la matriz observa o no dicha propiedad.
 Por ejemplo una matriz resultado de una cierta operación puede resultar
 ser simétrica de forma casual en cuyo caso no se especificará que lo es.
 Para especificarlo explícitamente se pueden incluir propiedades del tipo
 
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

NOT SYM
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

 para asegurar activamente que la matriz no es simétrica o 
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

NOT REG
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

 para especificar que es singular a ciencia cierta.
 Existen tres tipos de comportamiento que pueden adoptar los algoritmos
 cuando necesitan saber si una matriz cumple o no una propiedad no especificada:
\layout Enumerate

Algunas propiedades se pueden obtener de la definición de la matriz de forma
 sencilla y rápida, como por ejemplo, si es cuadrada o un vector fila.
 En estos casos se incorporará la información automáticamente siempre que
 sea pertinente.
 
\layout Enumerate

Para otras propiedades puede ser relativamente costoso pero asumible, como
 por ejemplo si es triangular superior o simétrica.
 En este caso una variable global
\begin_inset Foot
collapsed false

\layout Standard

Se le podría llamar VMP_FORCE_CALC_UNKNOWN_PROPERTIES o algo similar
\end_inset 

 gobernará lo que el usuario prefiere hacer en estos casos.
 En cualquier caso TOL emitirá un 
\shape italic 
warning
\shape default 
 avisando de ello al usuario por si se tratara de un defecto de definición.
\layout Enumerate

Otras propiedades requieren costes realmente prohibitivos como por ejemplo
 saber si una matriz es regular u otronormal.
 En estos casos TOL lanzará un 
\shape italic 
warning
\shape default 
 y no procesará ningún algoritmo que requiera dicha propiedad no especificada.
\layout Section

Tipos básicos de matrices virtuales
\layout Subsection

Dense
\layout Standard

Una matriz de tipo "dense
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

 (densa o llena) es la que se define explícitamente como un objeto TOL Matrix
 o un Real
\layout LyX-Code

Set d1 = VMatrix("Dense", Matrix A, Empty, Set properties);
\layout LyX-Code

Set d2 = VMatrix("Dense", Real   a, Empty, Set properties);
\layout Standard

No es necesario implementar métodos de acceso particulares pues el propio
 objeto matriz ya los proporciona.
 En el caso de definirse mediante un número real se entenderá la matriz
 (1x1) cuya única celda es dicho número.
\layout Subsection

Scan
\layout Standard

Una matriz "Scan
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

 es la que se define implícitamente por sus propios métodos de acceso y
 parámetros opcionales
\layout LyX-Code

Set d = VMatrix("Scan", Set param, VMatrixScanner(...), Set properties);
\layout Standard

El conjunto de métodos de acceso a una matriz deberá tener la siguiente
 estructura para poder ser utilizado en los algoritmos genéricos de forma
 eficaz:
\layout LyX-Code

Struct VMatrixScanner 
\layout LyX-Code

{
\layout LyX-Code

  Code getRows_,
\layout LyX-Code

  Code getColumns_,
\layout LyX-Code

  Code getCell_,
\layout LyX-Code

  Code getRow_,
\layout LyX-Code

  Code getColumn_
\layout LyX-Code

};
\layout Enumerate


\emph on 
Code getRows_
\emph default 
 : Función TOL declarada como 
\family typewriter 
Real (VMatrix v)
\family default 
.
 Devuelve el número de filas.
 
\layout Enumerate


\emph on 
Code getColumns_
\emph default 
: Función TOL declarada como 
\family typewriter 
Real (VMatrix v)
\family default 
.
 Devuelve el número de columnas.
\layout Enumerate


\emph on 
Code getCell_
\emph default 
: Función TOL declarada como 
\family typewriter 
Real (VMatrix v, Real i, Real j)
\family default 
.
 Devuelve el valor de la celda situada en la intersección de la fila i-ésima
 y la columna j-ésima.
 Puede ser útil en algoritmos que precisen de acceso aleatorio a una celda
 en particular.
\layout Enumerate


\emph on 
Code getRow_
\emph default 
: Función TOL declarada como 
\family typewriter 
Real (VMatrix v, Real i)
\family default 
.
 Devuelve una matriz vector fila llena.
 Se utilizará ampliamente en métodos virtuales de suma y multiplicación
 de matrices.
\layout Enumerate


\emph on 
Code getColumn_
\emph default 
: Función TOL declarada como 
\family typewriter 
Real (VMatrix v, Real j)
\family default 
.
 Devuelve una matriz vector columna llena.
 Se utilizará ampliamente en métodos virtuales de suma y multiplicación
 de matrices.
\layout Standard

Cuando los métodos de cálculo, este tipo de matriz podría acelerarse de
 forma opcional utilizando caché en disco para almacenar los resultados
 obtenidos y no voler a repetir dichos cálculos.
\layout Paragraph

Ejemplo
\layout Standard

En cualquier problema de regresión o interpolación de fenómenos en el espacio-ti
empo aparecen facilmente matrices gigantescas que en realidad dependen de
 tan sólo las coordenadas espaciales, pongamos 
\begin_inset Formula $\left(x,y,z\right)$
\end_inset 

 en el espacio tridimensional, y el momento 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset 

 en el que sucede el fenómeno estudiado, que podemos representar como una
 función 
\begin_inset Formula $u\left(x,y,z,t\right)$
\end_inset 

, que puede ser escalar o vectorial, y de la cual se conoce un conjunto
 de observaciones 
\begin_inset Formula $\left\{ u_{n}=u\left(x_{n},y_{n},z_{n},t_{n}\right)\right\} _{n=1\ldots N}$
\end_inset 

, de las cuales queremos extraer una fórmula de interpolación que permita
 calcular su valor en un punto arbitrario del espacio-tiempo.
\layout Standard

Las familias típicas de funciones básicas de interpolación son los polinomios,
 bien en la forma simple de monomios separados 
\begin_inset Formula $\{1,x,x^{2},...\},\{1,x,y,x^{2},xy,y^{2},...\}$
\end_inset 

, bien ortogonalizados (Hermite, Chebychev, ...).
 Otra familia típica, usada cuando el fenómeno tiene cierta estructura periódica
, es la familia harmónica de sinusoidales (series de Fourier)
\layout Standard


\begin_inset Formula $\{1\},\{ sin\left(jx2\pi\right),cos\left(jx2\pi\right)\}_{j=1,2,3,\ldots},$
\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula $\{1\},\{ sin\left(\left(jx+ky\right)2\pi\right),cos\left(\left(jx+ky\right)2\pi\right)\}_{j,k=1,2,3,\ldots},$
\end_inset 

...
 
\layout Standard

En el caso concreto de los fenómenos meteorológicos, las estructuras periódicas
 (ondas) aparecen en el tiempo y en las coordenadas de longitud y latitud
 
\begin_inset Formula $\left(x,y\right)$
\end_inset 

 de forma no necesariamente independiente del tiempo, mientras que en la
 altura la periodicidad se diluye debido al pequeño espesor relativo de
 la atmósfera.
 Por esta razón se tomará una matriz e regresión como la expuesta a continuación
 para hallar la función de interpolación, una vez obtenidos los valores
 
\begin_inset Formula $\left\{ x_{n},y_{n},z_{n},t_{n}\right\} _{n=1\ldots N}$
\end_inset 

, para los que supondremos que 
\begin_inset Formula $x_{n},y_{n},t_{n}$
\end_inset 

, están normalizados en el intervalo 
\begin_inset Formula $\left[0,1\right]$
\end_inset 

,
\layout LyX-Code

Matrix input  = Group("ConcatColumns",
\layout LyX-Code

  SetOfMatrix
\layout LyX-Code

  (
\layout LyX-Code

    1,
\layout LyX-Code

    z,
\layout LyX-Code

    RPow(z,2)
\layout LyX-Code

  )<<
\layout LyX-Code

  BinGroup("<<",For(1,OrderT,Set(Real i)
\layout LyX-Code

  {
\layout LyX-Code

    BinGroup("<<",For(1,OrderX,Set(Real j)
\layout LyX-Code

    {
\layout LyX-Code

      For(1,OrderY,Matrix(Real k) 
\layout LyX-Code

      { 
\layout LyX-Code

        Matrix ti = RProd(t, 2*Pi*i);
\layout LyX-Code

        Matrix xj = RProd(x, 2*Pi*j);
\layout LyX-Code

        Matrix yk = RProd(y, 2*Pi*k);
\layout LyX-Code

        Sin(ti+xj+yk) | Cos(ti+xj+yk)
\layout LyX-Code

      })
\layout LyX-Code

    }))
\layout LyX-Code

  }))
\layout LyX-Code

);
\layout Standard

Cuando se precisa un nivel de detalle muy fino, los tamaños de las series
 de Fourier (
\family typewriter 
OrderT
\family default 
,
\family typewriter 
 OrderX 
\family default 
y
\family typewriter 
 OrderY
\family default 
) han de hacerse mayores y el tamaño total de la matriz 
\family typewriter 
3+OrderT*OrderX*OrderY 
\family default 
se puede hacer excesivo y superar facilmente la RAM disponible en la computadora
, teniendo en cuenta que el número de observaciones es de cientos de miles
 al día, y es conveniente hacer la interpolación con los datos de al menos
 un día, para asegurar un recubrimiento geográfico suficiente, debido a
 la heterogeneidad de frecuencias de las observaciones emitidas por las
 diferentes estaciones meteorológicas.
\layout Standard

Sin embargo, para los cálculos de la regresión no es necesario mantener
 en memoria toda la matriz al mismo tiempo sino que sólo necesitamos tener
 cada columna por separado, por lo que se puede definir del siguiente modo
 en TOL
\layout LyX-Code

//Estructura de parámetros de definición de la matriz virtual
\layout LyX-Code

Struct MeteoParamDef
\layout LyX-Code

{
\layout LyX-Code

  Real   numObs_,
\layout LyX-Code

  Real   orderX_,
\layout LyX-Code

  Real   orderY_,
\layout LyX-Code

  Real   orderT_,
\layout LyX-Code

  Matrix x_,
\layout LyX-Code

  Matrix y_,
\layout LyX-Code

  Matrix z_,
\layout LyX-Code

  Matrix t_
\layout LyX-Code

};
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

//Función de creación de la matriz virtual
\layout LyX-Code

Set MeteoInput(MeteoParamDef param)
\layout LyX-Code

{
\layout LyX-Code

  VMatrix
\layout LyX-Code

  (
\layout LyX-Code

    "Scan", 
\layout LyX-Code

    param,
\layout LyX-Code

    VMatrixScanner
\layout LyX-Code

    {
\layout LyX-Code

      Real getRows(VMatrix this) { this->param->numObs_ },
\layout LyX-Code

      Real getCols(VMatrix this) 
\layout LyX-Code

      { 
\layout LyX-Code

        3
\family typewriter 
+
\family default 
this->param->o
\family typewriter 
rderT
\family default 
_
\family typewriter 
*
\layout LyX-Code

          this->param->o
\family typewriter 
rderX
\family default 
_
\family typewriter 
*
\layout LyX-Code

          this->param->o
\family typewriter 
rderY
\family default 
_ 
\layout LyX-Code

      },
\layout LyX-Code

      getCell=UnknownCode, //No se precisa este método
\layout LyX-Code

      getRow =UnknownCode, //No se precisa este método
\layout LyX-Code

      Matrix getColumn(VMatrix this, Real col)
\layout LyX-Code

      {
\layout LyX-Code

        If(col<=3, RPow(this->param->z_,col),
\layout LyX-Code

        {
\layout LyX-Code

          Real   nx  = this->param->o
\family typewriter 
rderX
\family default 
_;
\layout LyX-Code

          Real   ny  = this->param->o
\family typewriter 
rder
\family default 
Y_;
\layout LyX-Code

          Real   nt  = this->param->o
\family typewriter 
rder
\family default 
T_;
\layout LyX-Code

          Real   nxy = nx*ny;
\layout LyX-Code

          Real   c0  = col-3;
\layout LyX-Code

          Real   i   = Floor(c0/nxy);
\layout LyX-Code

          Real   c1  = c0-i*nxy
\layout LyX-Code

          Real   j   = Floor(c1/ny);
\layout LyX-Code

          Real   c2  = c1-j*nx;
\layout LyX-Code

          Real   k   = Floor(c/2);
\layout LyX-Code

          Real   sc  = c2-k;
\layout LyX-Code

          Matrix ti  = RProd(this->param->t, 2*Pi*i);
\layout LyX-Code

          Matrix xj  = RProd(this->param->x, 2*Pi*j);
\layout LyX-Code

          Matrix yk  = RProd(this->param->y, 2*Pi*k);
\layout LyX-Code

          If(!sc, Sin(ti+xj+yk),Cos(ti+xj+yk))
\layout LyX-Code

        }
\layout LyX-Code

      }
\layout LyX-Code

    }, 
\layout LyX-Code

    Set properties=Empty
\layout LyX-Code

  )
\layout LyX-Code

};
\layout Subsection

Sparse
\layout Standard

Una matriz "Sparse
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

 es la que por tener una gran cantidad de ceros se define implícitamente
 de forma que sólo hay que especificar los valores no nulos.
 
\layout LyX-Code

Set d4 = VMatrix("Sparse", [["SUBTYPE", S_1, S_2, ..., S_k]], Empty, Set properties
));
\layout Standard

No es necesario implementar métodos de acceso particulares pues el propio
 objeto sparse-matrix ya los proporciona.
 Existen muchos subtipos de matriz sparse atendiendo al método de especificación
, por ello una matriz "sparse" se define mediante un conjunto 
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

param
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

 donde el primer elemento especifica un tipo de "sparsidad" y los elementos
 restantes definen los valores distintos de cero.
 Se tienen los tipos de matrices "sparse":
\layout Enumerate

"DIAG" : matriz diagonal densa por bloques.
\layout Enumerate

"SDIAG" : matriz diagonal "sparse" por bloques.
\layout Enumerate

"ROW" : matriz fila densa por bloques.
\layout Enumerate

"SROW" : matriz fila "sparse" por bloques.
\layout Enumerate

"COL" : matriz columna densa por bloques.
\layout Enumerate

"SCOL" : matriz columna "sparse" por bloques.
\layout Enumerate

"TRIPLET" : matriz rectangular "sparse" por bloque dada por coordenadas
 de
\layout Enumerate

bloques.
\layout Standard

La forma de los elementos S_i depende del tipo "sparsidad" "SUBTYPE" y hacen
 referencia a submatrices o bloques.
 Un bloque puede ser:
\layout Enumerate

Un valor escalar : Real.
\layout Enumerate

Una matriz densa : Matrix.
\layout Enumerate

Una matriz sparse : Set [["SUBTYPE", S_1, S_2, ..., S_k]] (permite definicion
 recursiva).
\layout Enumerate

Una matriz virtual : VMatrix (también permite definicion recursiva aún más
 genérica).
\layout Standard

En realidad bastaría con el último caso pues engloba al resto pero se dan
 el resto de opciones para evitar expresiones demasiado engorrosas.
 En adelante una submatriz o bloque se denominara BLOCK.
 Para cada block B,m(B) nos da la cantidad de filas del bloque; y n(B),
 la cantidad de columnas del bloque.
 Por simplicidad de notacion se puede usar m_i, n_i para denotar la cantidad
 de filas y columnas del bloque i-esimo cuando el referido bloque quede
 claro en el contexto.
\layout Standard

Especificamos ahora para cada tipo la forma de lo elementos S_i.
\layout Subsubsection

Subtype "DIAG"
\layout Standard

El tipo "DIAG" define una matriz diagonal por bloque que se obtiene al concatena
r en diagonal cada uno de los bloques S_i.
 El bloque S_1 comienza en la coordenada (1,1).
 Si la diagonal principal de S_i termina en las coordenadas (d_i,d_i), d_i
 = min(m_i,n_i), entonces el bloque S_{i+1} comienza en la coordenada (di+1,di+1
).
\layout Subsubsection

Subtype "SDIAG"
\layout Standard

El tipo "SDIAG" define una matriz diagonal "sparse" por bloque que se obtiene
 de colocar cada bloque en sus coordenadas diagonal especificada.
 La forma de S_i es {d_i, B_i}.
 El bloque B_i se coloca a partir de las coordenadas (d_i,d_i).
\layout Subsubsection

Subtype "ROW"
\layout Standard

El tipo "ROW" define una matriz fila por bloques que se obtiene de concatenar
 horizontalmente cada uno de los bloques S_i.
 El bloque S_1 comienza en la coordenada (1,1).
 El bloque S_{i+1} comienza en las coordenadas (1,n_i+1).
\layout Subsubsection

Subtype "SROW"
\layout Standard

El tipo "SROW" define una matriz fila "sparse" por bloque que se obtiene
 de colocar cada bloque en sus coordenadas de fila especificada.
 La forma de S_i es {n_i, B_i}.
 El bloque B_i se coloca a partir de las coordenadas (1,n_i).
\layout Subsubsection

Subtype "COL"
\layout Standard

El tipo "COL" define una matriz columna por bloques que se obtiene deconcatenar
 verticalmente cada uno de los bloques S_i.
 El bloque S_1 comienza en la coordenada (1,1).
 El bloque S_{i+1} comienza en las coordenadas (m_i+1,1).
\layout Subsubsection

Subtype "SCOL"
\layout Standard

El tipo "SCOL" define una matriz fila "sparse" por bloque que se obtiene
 de colocar cada bloque en sus coordenadas de columna especificada.
 La forma de S_i es {m_i, B_i}.
 El bloque B_i se coloca a partir de las coordenadas (m_i,1).
\layout Subsubsection

Subtype "TRIPLET"
\layout Standard

El tipo "TRIPLET" define una matriz rectangular "sparse" por bloque que
 se obtiene de colocar cada bloque en las coordenadas rectangulares especificada
s.
 La forma de S_i es {m_i, n_i, B_i}.
 El bloque B_i se coloca a partir de las coordenadas (m_i, n_i).
\layout Subsection

Displacement
\layout Standard

Las matrices con estructura de desplazamiento son tipos muy especiales de
 matrices que, aún pudiendo ser normalemente matrices llenas, son definibles
 mediante muy pocos parámetros, 
\begin_inset Formula $O\left(n=rows+columns\right)$
\end_inset 

 en lugar de 
\begin_inset Formula $O\left(rows\times columns\right)$
\end_inset 

; y para los que se cuenta con algoritmos de multiplicación, inversión o
 regresión super rápidos con órdenes superlineales 
\begin_inset Formula $O\left(nlog^{h}n\right)$
\end_inset 

 (
\shape italic 
superfast methods
\shape default 
), casi todos ellos relacionados con el algoritmo de Schur, la transformada
 rápida de Fourier y con métodos de interpolación y regresión en general.
 También existen métodos de resolución de sistemas lineales arbitrarios
 basados en precondicionadores con estructura de desplazamiento que aceleran
 la solución de problemas genéricos, lo cual hace aún más interesante contar
 con est
\layout Standard

Existen multitud de subtipos de matrices con estructura de desplazamiento
 que se irán introduciendo conforme se hagan necesarias: Toeplitz, Hankel,
 Circulant, Cauchy, Vandermonde, Toeplitz-like, Cauchy-like, Toeplitz+Henkel-lik
e, etc
\layout LyX-Code

Set d = VMatrix("Displacement", [["SUBTYPE", param1, param2, ...]], Empty,
 Set properties));
\layout Standard

No es necesario en estos casos implementar métodos de acceso particulares.
\layout Subsubsection

Subtype 
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

Toeplitz
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\layout Standard

Una matriz de tipo "Toeplitz
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

 es la que se define implícitamente mediante los elementos comunes de cada
 diagonal principal, o sea que 
\begin_inset Formula $T_{i,j}=t_{i-j}$
\end_inset 

.
\layout LyX-Code

Set d1 = VMatrix("Displacement", [["Toeplitz", Polyn  t]], Empty, Set properties
);
\layout LyX-Code

\layout Standard

El coeficiente de grado cero se refiere a la diagonal principal central,
 los coeficientes de los monomios con grado negativo (F) se corresponden
 a las diagonales principales por debajo de la diagonal principal central,
 y los de grado positivo (B) a las diagonales principales superiores.
\layout Standard

Este tipo de matrices serán especialmente útiles para la definición de matrices
 de espacio de estado de modelos que involucren procesos ARMA o VARMA, así
 como matrices de covarianzas de procesos estacionarios, etc.
 
\layout Subsubsection

Subtype 
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

Hankel
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 


\layout Standard

Una matriz de tipo "Hankel
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

 es la que se define implícitamente mediante los elementos comunes de cada
 diagonal secundaria, o sea que 
\begin_inset Formula $T_{i,j}=t_{i+j}$
\end_inset 

.
\layout LyX-Code

Set d1 = VMatrix("Displacement", [["Hankel", Polyn  t]], Empty, Set properties);
\layout Standard

La definición a partir del polinomio son análogos a los de la matriz de
 Toeplitz.
 Aparece de foma más rara pero no involucra apenas coste pues casi todos
 los métodos de las matrices de Toeplitz son facilmente asimilables para
 las matrices de Hankel.
\the_end