source: tol/doc/kernel/Time/TC-diseño.lyx @ 83a1cc2

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\papersides 1
\paperpagestyle default

\layout Title

Álgebra del Tiempo Continuo
\layout Author

Daniel Rus y Víctor de Buen
\layout Abstract

En este documento se dan las principales bases teóricas para la implementación
 del 
\series bold 
álgebra del tiempo continuo
\series default 
 especialmente diseñada para el lenguaje de programación 
\emph on 
open-source
\emph default 
 TOL (
\emph on 
Time Oriented Language
\emph default 
) cuya página web es 
\begin_inset LatexCommand \htmlurl[TOL-project]{http://www.tol-project.org}

\end_inset 

, y que ha sido desarrollado por el grupo 
\begin_inset LatexCommand \htmlurl[Bayes]{http://www.bayesforecast.com}

\end_inset 

.
\layout Abstract

El propósito del álgebra del tiempo es dotar al lenguaje de un método potente
 y sencillo de manejar que permita la manipulación de secuencias temporales
 complejas utilizadas en el análisis estadístico de series temporales, tanto
 en tiempo continuo como discreto, especialmente en lo que se respecta al
 llamado tiempo social que alude a todos aquellos aspectos de tipo social
 que pueden influir en los fenómenos analizados, como son los festivos,
 los puentes, las vacaciones, el calendario escolar, fines de semana, estacional
idades anual, semanal, y diaria, usos horarios de invierno y verano, nocturnidad
, horario de oficina, etc.; o cualquier otra estructura temporal derivada
 de los mismos.
\layout Abstract

Cuando se habla de tiempo continuo en realidad se hace referencia a que
 las secuencias temporales no tienen porqué ser regulares sino que pueden
 seguir cualquier sucesión creciente de puntos de la recta real, aunque
 en la práctica se limitará la precisión temporal a cierta granularidad
 máxima, que en este caso será el segundo.
 Es decir, el tiempo manejado no es realmente continuo sino discreto, pero
 admite secuencias irregulares y con un grado de precisión que se estima
 más que suficiente por ahora, aunque en todo momento se deja la puerta
 abierta a precisiones más altas.
\layout Abstract
\pagebreak_bottom 
Se introducen formalizaciones matemáticas de granularidad temporal, instante
 de tiempo y conjunto temporal, así como de las operaciones algebraicas
 que es posible definir sobre ellos.
\layout Abstract


\begin_inset LatexCommand \tableofcontents{}

\end_inset 


\layout Section
\pagebreak_top 
Granularidad Temporal
\layout Standard

La granularidad temporal hace referencia a las unidades básicas o granos
 de medición del tiempo como el segundo, el minuto, la hora, etc.
 A continuación se describe el concepto formal de granularidad en la recta
 real y su aplicación al caso del tiempo y sus relaciones con el calendario
 gregoriano.
\layout Subsection

Definición de granularidad
\layout Standard

Una 
\series bold 
granularidad
\series default 
 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 en la recta real es una sucesión infinita monótona estrictamente creciente
 de números reales
\begin_inset Formula \begin{equation}
g=\left\{ x_{k}\in\mathbb{R}\right\} _{k\in\mathbb{Z}}\bot x_{k}<x_{k+1}\forall k\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por ser siempre creciente estrictamente se tiene que necesariamente es no
 acotada ni por la izquierda ni por la derecha, más concretamente se cumple
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\lim_{k\rightarrow-\infty}x_{k}=-\infty\wedge\lim_{k\rightarrow\infty}x_{k}=\infty\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Dada la granularidad 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 definida anteriormente se define el operador 
\begin_inset Formula \begin{equation}
k\bullet g=x_{k}\forall k\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

que no es sino otra forma de escribir la sucesión de forma que se haga referecia
 explícita a la granularidad, un mero truco notacional.
\layout Subsection

Ordenación de granularidades
\layout Standard

Se dirá que una sucesión 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 
\emph on 
es más fina que
\emph default 
 otra 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset 

 y escribiremos 
\begin_inset Formula $g\supset h$
\end_inset 

 ó 
\begin_inset Formula $h\subset g$
\end_inset 

, o bien que 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset 

 
\emph on 
es más gruesa que
\emph default 
 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 y escribiremos 
\begin_inset Formula $h>g$
\end_inset 

 ó 
\begin_inset Formula $g<h$
\end_inset 

, si la sucesión que define a 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset 

 está incluida en la que define a 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

, es decir
\begin_inset Formula \begin{equation}
\forall\: n\in\mathbb{Z}\:\exists\: m\in\mathbb{Z}\:\bot\: m\bullet g=n\bullet h\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

A la operación que devuelve ese entero 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset 

 la llamaremos 
\emph on 
cociente granular
\emph default 
 y la denotaremos con el símbolo de la inversión sobre la granularidad 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
m=g^{-1}\left(n\bullet h\right)\Leftrightarrow m\bullet g=n\bullet h\quad\forall n\in\mathbb{Z},\forall k\in\mathbb{Z},\: h>g\label{eq:GraQuo}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Se define la granularidad continua 
\begin_inset Formula $g_{\infty}$
\end_inset 

 como el límite superior de todas las granularidades en orden de más gruesa
 a más fina.
\layout Subsection

El calendario gregoriano
\layout Standard

Cuando la magnitud física que representa la recta real es el tiempo se hablará
 de granularidades temporales.
 Estas se suelen definir mediante cualquier regla de cálculo de la sucesión
 
\begin_inset Formula $\left\{ k\bullet g\right\} _{k\in\mathbb{Z}}$
\end_inset 

, como puede ser dar un punto de partida 
\begin_inset Formula $0\bullet g$
\end_inset 

 y una regla de sucesión temporal que permita reconstruir la sucesión de
 forma recursiva
\begin_inset Formula \begin{equation}
\left(m+1\right)\bullet g=Succ\left(m\bullet g\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

A las granularidades temporales correspondientes a las unidades básicas
 de tiempo en el 
\series bold 
calendario gregoriano
\series default 

\begin_inset Foot
collapsed false

\layout Standard

En 1582 fue cuando se inició el calendario gregoriano por mandato del Papa
 Gregorio XIII, corrigiendo el anterior calendario juliano que había provocado
 un desfase de 10 días con respecto al ciclo anual, y que fueron eliminados
 del calendario por decreto, pasando directamente del 4 al 15 de octubre
 y dando lugar a cosas tan curiosas como que la gente protestara en grandes
 revueltas creyendo que se le habían restado 10 días de vida, o que Santa
 Teresa muriera el día 4 y fuera enterrada el día 15, es decir, al día siguiente.
 Todos los países no adoptaron la nueva regla al unísono; esta es la razón
 de que Cervantes y Shakespeare muriesen formalmente en la misma fecha,
 el 23 de abril de 1616, pero con diez días de diferencia.
 Pero en cualquier caso se tomará el 1583 como primer año del calendario
 gregoriano.
 El calendario juliano introducía el concepto de año bisiesto con un día
 más, el 29 de febrero, cada 4 años.
 El gregoriano mejoraba esa aproximación eliminando un bisiesto cada siglo
 que no fuera múltiplo de 4.
\end_inset 

 les llamaremos 
\emph on 
granularidades temporales básicas
\emph default 
 y son las correspondientes a las sucesiones de los años, los meses, los
 días, las horas, los minutos, y los segundos.
 Es posible extender muy facilmente esta definición a granularidades más
 finas como la milésima de segundo, o el nanosegundo pero por razones técnicas
 la presente implementación se limita al segundo.
 De esta forma se define la base gregoriana de granularidades dispuestas
 en orden de más gruesa a más fina
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{G}_{6}=\left\{ \begin{array}{cc}
g_{\mathbf{y}}: & \mathbf{anual}\\
g_{\mathbf{m}}: & \mathbf{mensual}\\
g_{\mathbf{d}}: & \mathbf{diaria}\\
g_{\mathbf{h}}: & \mathbf{horaria}\\
g_{\mathbf{i}}: & \mathbf{minutal}\\
g_{\mathbf{s}}: & \mathbf{secundal}\end{array}\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Al conjunto 
\begin_inset Formula $\mathcal{IG}_{6}=\left\{ \mathbf{y},\mathbf{m},\mathbf{d},\mathbf{h},\mathbf{i},\mathbf{s}\right\} $
\end_inset 

 le llamaremos índice de la base gregoriana de granularidades.
 
\layout Standard

Así, la granularidad del segundo es más fina que la del minuto y que todas
 las demás y la del año es la más gruesa: 
\begin_inset Formula $g_{\mathbf{y}}>g_{\mathbf{m}}>g_{\mathbf{d}}>g_{\mathbf{h}}>g_{\mathbf{i}}>g_{\mathbf{s}}$
\end_inset 

.
 Se recalca esta cuestión de orden para que no se confunda el lector en
 lo que resta del documento.
 
\layout Standard

Para la granularidad diaria 
\begin_inset Formula $\left\{ k\bullet g_{\mathbf{d}}\right\} _{k\in\mathbb{Z}}$
\end_inset 

 sus elementos son el número de días transcurridos desde un punto de origen
 común a todas las granularidades 
\begin_inset Formula $0\bullet g_{r}=0\:\forall r\in\mathcal{IG}_{6}$
\end_inset 

, que se suele tomar en muchas aplicaciones, bases de datos y hojas de cálculo
 como el IT que comienza el 1 de enero de 1900 a las 0 horas, 0 minutos
 y 0 segundos.
 Nótese que las granularidades que van del día al segundo son regulares
 en el sentido de que los intervalos entre sus elementos tienen igual longitud
 dentro de cada una, es decir, 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\exists\lambda_{r}\in\mathbb{R}^{+}\bot\left(k+1\right)\bullet g_{r}-k\bullet g_{r}=\lambda_{r}\Rightarrow k\bullet g_{r}=k\times\lambda_{r}\forall k\in\mathbb{Z},\: r=\mathbf{d},\mathbf{h},\mathbf{i},\mathbf{s}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

La unidad del calendario gregoriano es el día y por lo tanto 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{l}
\lambda_{\mathbf{d}}=1\\
\lambda_{\mathbf{h}}=\frac{1}{24}\\
\lambda_{\mathbf{i}}=\frac{1}{24\times60}=\frac{1}{1440}\\
\lambda_{\mathbf{s}}=\frac{1}{24\times60\times60}=\frac{1}{86400}\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

También se pueden definir otras granularidades como la semanal 
\begin_inset Formula $g_{\mathbf{w}}$
\end_inset 

, que es regular con 
\begin_inset Formula $\lambda_{\mathbf{w}}=7$
\end_inset 

, aunque no formarán parte de la base gregoriana.
\layout Standard

Sin embargo las granularidades mensual y la anual son irregulares pues hay
 meses más largos que otros y lo mismo pasa con los años y sólo se tienen
 los valores aproximados de las periodicidades 
\begin_inset Formula $\lambda_{\mathbf{y}}\approx365.2425$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $\lambda_{\mathbf{m}}\approx30.436875$
\end_inset 

.
 
\layout Standard

Para la granularidad mensual 
\begin_inset Formula $k\bullet g_{\mathbf{m}}$
\end_inset 

 son los días transcurridos tras los 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

 primeros meses desde el punto de origen si 
\begin_inset Formula $k\geq0$
\end_inset 

, o bien los días que faltan hasta ese punto contando desde 
\begin_inset Formula $-n$
\end_inset 

 meses antes si es 
\begin_inset Formula $k<0$
\end_inset 

.
 
\layout Standard

Análogamente, 
\begin_inset Formula $k\bullet g_{\mathbf{y}}$
\end_inset 

 son los días transcurridos tras los 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset 

 primeros años desde el punto de origen si 
\begin_inset Formula $k\geq0$
\end_inset 

 o bien los días que faltan hasta ese punto contando desde 
\begin_inset Formula $-k$
\end_inset 

 años antes si es 
\begin_inset Formula $k<0$
\end_inset 

.
 
\layout Standard

Existen métodos sencillos para la determinación de 
\begin_inset Formula $k\bullet g_{\mathbf{m}}$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $k\bullet g_{\mathbf{y}}$
\end_inset 

 a partir de la regla de cálculo de los años bisiestos que son básicamente
 los múltiplos de 4 que no lo son de 100 a no ser que sean de 400.
 Esto da un error en el ciclo anual menor de 3 días cada 10000 años, por
 lo que se puede dar por válido al menos hasta el año 1582+3333=4915.
\layout Standard

A efectos de implementación se usará la librería open-source 
\begin_inset LatexCommand \htmlurl[libtai]{http://cr.yp.to/libtai.html}

\end_inset 

 para el almacenamiento y manipulación de fechas y tiempos.
\layout Section
\pagebreak_top 
Instantes de Tiempo
\layout Standard

Los instantes de tiempo, pueden medirse en un rango de unidades que va de
 años a segundos.
 Estas unidades representan la granularidad de cada uno de ellos.
 Un instante de tiempo se define tomando valores en cada uno de los conceptos
 para los cuales existe una granularidad: año, mes, día, hora, minuto y
 segundo.
 Pueden omitirse secuencialmente de derecha a izquierda sin que falte nunca
 el último de todos, el año.
 Dos instantes de tiempo guardan una relación de orden entre sí.
 Por otro lado, un instante de tiempo puede estar contenido dentro de otro.
 
\layout Standard

A continuación se dará contenido formal matemático a estas ideas intuitivas.
\layout Subsection

Definición de Instante de Tiempo
\layout Standard

Desde el punto de vista matemático un 
\series bold 
instante de tiempo continuo
\series default 
 o simplemente instante de tiempo, a partir de ahora 
\series bold 
IT
\series default 
, es un intervalo de Borel de la recta real de la forma
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g_{r}\right)=\left[k\bullet g_{r},\left(k+1\right)\bullet g_{r}\right)\subset\mathbb{R}\wedge r\in\mathcal{IG}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

donde 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{Z}$
\end_inset 

 es un número entero cualquiera, 
\begin_inset Formula $g_{r}$
\end_inset 

 es una granularidad básica gregoriana, 
\begin_inset Formula $k\bullet g_{r}\in\mathbb{R}$
\end_inset 

 representa el punto de inicio del IT y 
\begin_inset Formula $\left(k+1\right)\bullet g_{r}\in\mathbb{R}$
\end_inset 

 su límite superior, que no le pertenece propiamente, por ser un intervalo
 abierto por la derecha.
\layout Standard

He aquí algunos ejemplos válidos de IT
\layout Itemize

El día 9 de febrero de 1900 es el IT 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(40,g_{\mathbf{d}}\right)=\left[40,41\right)$
\end_inset 


\layout Itemize

El mes de enero de 1900 es el IT 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(0,g_{\mathbf{m}}\right)=\left[0,31\right)$
\end_inset 


\layout Standard

Al conjunto de todos los IT para cualquiera de estas 6 granularidades le
 llamaremos 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}$
\end_inset 

.
 La cardinalidad de cada 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{R>6}$
\end_inset 

 definible por extensión de la base de granularidades sería la del infinito
 numerable 
\begin_inset Formula $\infty$
\end_inset 

.
 Sólo en el límite 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{\infty}$
\end_inset 

 se alcanzaría la cardinalidad del continuo 
\begin_inset Formula $\infty^{\infty}$
\end_inset 

.
\layout Subsubsection

Ampliación de 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}$
\end_inset 

 con instantes de tiempo impropios
\layout Standard

El conjunto de los IT de una misma granularidad es una teselación de la
 recta real, es decir, la intersección de cada par de ellos es nula y su
 unión es toda la recta real.
 Cada uno de ellos define por tanto una sucesión infinita en la cual es
 posible definir los instantes de tiempo límite como los límites a los que
 convergen, para todas las granularidades, las sucesiones de instantes por
 la izquierda y por la derecha
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(-\infty\right)=\lim_{k\rightarrow-\infty}\mathcal{I}\left(k,g\right)=\left\{ -\infty\right\} \forall g\in\mathcal{G}_{6}\\
\mathcal{I}\left(\infty\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\mathcal{I}\left(k,g\right)=\left\{ \infty\right\} \forall g\in\mathcal{G}_{6}\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Obsérvese que dichos instantes límite no son propiamente intervalos sino
 que se trata de puntos de la recta real ampliada con los que se amplía
 a su vez el conjunto 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}$
\end_inset 

.
 
\layout Standard

También se amplía el concepto de IT con el IT desconocido o indeterminado
 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(?\right)$
\end_inset 

 que se utilizará para expresar que no existe el resultado de una expresión
 que debería devolver un IT.
 Este IT indeterminado no pertenece realmente a 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}$
\end_inset 

 pero en ocasiones se escribirá 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}-\left\{ \mathcal{I}\left(?\right)\right\} $
\end_inset 

 para recalcarlo.
 Del mismo modo se escribirá 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}-\left\{ \mathcal{I}\left(-\infty\right),\mathcal{I}\left(\infty\right)\right\} $
\end_inset 

 o cualquier combinación de exclusiones.
 A estos tres IT's se les llamará IT's impropios y al resto, los que se
 pueden expresar como 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,g\right)$
\end_inset 

 , se les llamará IT propios.
 Si no se indica otra cosa se entenderá siempre que un IT es propio.
\layout Subsection

Estructura Algebraica de 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}$
\end_inset 


\layout Standard

Se van a definir operaciones algebraicas entre instantes de tiempo y entre
 estos y los números enteros que permitirán manejar estos objetos desde
 un punto vista formal.
\layout Subsubsection

Operaciones externas
\layout Standard

A continuación se describen algunas funciones de acceso a las propiedades
 de un IT y otras funciones relacionadas con el tratamiento del tiempo
\layout Paragraph

Granularidad
\layout Standard

A la sucesión 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 le llamaremos granularidad del IT, y a la función que la devuelve 
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\right)=g\in\mathcal{G}_{6}\quad\forall k\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Paragraph

Ordinal
\layout Standard

Al valor entero 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset 

 le llamaremos ordinal del IT y a la función correspondiente 
\begin_inset Formula \begin{equation}
ord\left(\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\right)=k\in\mathbb{Z}\quad\forall g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Paragraph

Punto de inicio
\layout Standard

Al valor real 
\begin_inset Formula $t=k\bullet g$
\end_inset 

 le llamaremos punto de inicio, y a la función que devuelve dicho punto
 de inicio para un IT le llamaremos 
\begin_inset Formula \begin{equation}
startOf\left(\mathcal{I}\left(k,g\right)\right)=t=k\bullet g\in\mathbb{R}\quad\forall k\in\mathbb{Z}\: g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Paragraph

Distancia en una granularidad
\layout Standard

Se define la función distancia entre dos puntos reales en una granularidad
 
\begin_inset Formula $g_{r}\in\mathcal{G}_{6}$
\end_inset 

 como el número de IT's de esa granularidad incluidos entre esos dos puntos.
 Es decir
\begin_inset Formula \begin{equation}
\left\langle t,\, t'\right\rangle _{g_{r}}=Card\left\{ \left.\mathcal{\mathcal{I}}\left(j,g_{r}\right)\right|t\leq j\bullet g_{r}\wedge\left(j+1\right)\bullet g_{r}<t'\right\} \quad\forall t,t'\in\mathbb{R}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Se define la distancia entre dos IT's en una granularidad como la distancia
 entre sus puntos de origen en esa misma granularidad.
\begin_inset Formula \begin{equation}
\left\langle \mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right),\,\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\right\rangle _{g_{r}}=\left\langle k\bullet g,\, k'\bullet g'\right\rangle _{g_{r}}\quad\forall k,k'\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

En particular para dos IT's con granularidad 
\begin_inset Formula $g_{r}$
\end_inset 

 se tiene que
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\left\langle \mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g_{r}\right),\,\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g_{r}\right)\right\rangle _{g_{r}}=\left\langle k\bullet g_{r},\, k'\bullet g_{r}\right\rangle _{g_{r}}=\left\{ \begin{array}{cc}
k'-k & si\: k'>k\\
0 & si\: k'\leq k\end{array}\right.\quad\forall k,k'\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Obviamente, cuanto más fina es la granularidad mayor es la distancia entre
 los mismos puntos.
\layout Paragraph

Funciones de coordenadas gregorianas
\layout Standard

En virtud del calendario gregoriano se definen también las funciones de
 coordenadas gregorianas
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{cccc}
year\left(t\right) & :\mathbb{R}\rightarrow & RG_{\mathbf{y}}=\mathbb{Z}\cap & \left[1583,\,4999999\right]\\
month\left(t\right) & :\mathbb{R}\rightarrow & RG_{\mathbf{m}}=\mathbb{Z}\cap & \left[1,\,12\right]\\
day\left(t\right) & :\mathbb{R}\rightarrow & RG_{\mathbf{d}}=\mathbb{Z}\cap & \left[1,\,31\right]\\
hour\left(t\right) & :\mathbb{R}\rightarrow & RG_{\mathbf{h}}=\mathbb{Z}\cap & \left[0,\,23\right]\\
minute\left(t\right) & :\mathbb{R}\rightarrow & RG_{\mathbf{i}}=\mathbb{Z}\cap & \left[0,\,59\right]\\
second\left(t\right) & :\mathbb{R}\rightarrow & RG_{\mathbf{s}}=\mathbb{Z}\cap & \left[0,\,59\right]\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

que devuelven para cada punto de la recta real el año, mes, día, hora, minuto
 y segundo al que corresponde en dicho calendario.
 A los conjuntos 
\begin_inset Formula $RG_{r}$
\end_inset 

 les llamaremos 
\emph on 
rangos de coordenadas gregorianas
\emph default 
.
 También se define del mismo modo la función que devuelve el día de la semana
 que, aunque no es una coordenada de la base tiene mucha importancia en
 el tratamiento del tiempo social.
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
weekDay\left(t\right):\mathbb{R}\rightarrow RG_{\mathbf{w}}=\mathbb{Z}\cap\left[1,\,7\right]\end{equation}

\end_inset 


\layout Paragraph

Representación de instantes de tiempo
\layout Standard

Un IT 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,g_{r}\right)$
\end_inset 

 se puede representar como una 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset 

-tupla con 
\begin_inset Formula $r=1\ldots6$
\end_inset 


\begin_inset Formula \begin{equation}
IT\left(c_{1},...,c_{r}\right):RG_{1}\times\cdots\times RG_{r}\rightarrow\mathfrak{C}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

donde los 
\begin_inset Formula $c_{k=1..s}$
\end_inset 

 son las coordenadas gregorianas del punto de inicio del IT incluyendo sólo
 las significativas en su granularidad.
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{cccc}
c_{1}= & year\left(k\bullet g_{r}\right) & \quad c_{2}= & month\left(k\bullet g_{r}\right)\\
c_{3}= & day\left(k\bullet g_{r}\right) & \quad c_{4}= & hour\left(k\bullet g_{r}\right)\\
c_{5}= & minute\left(k\bullet g_{r}\right) & \quad c_{6}= & second\left(k\bullet g_{r}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

La función de representación 
\begin_inset Formula $IT\left(c_{1},...,c_{s}\right)$
\end_inset 

 también se puede expresar como 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
IT\left(c_{1},...,c_{6}\right)=y\left\langle c_{1}\right\rangle m\left\langle c_{2}\right\rangle d\left\langle c_{3}\right\rangle h\left\langle c_{4}\right\rangle i\left\langle c_{5}\right\rangle s\left\langle c_{6}\right\rangle \end{equation}

\end_inset 

Por ejemplo:
\layout Itemize


\begin_inset Formula $it_{1}=IT(2005)=y2005$
\end_inset 

 será el IT que representa al año 2005, su granularidad será 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset 

anual
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

.
\layout Itemize


\begin_inset Formula $it_{2}=IT(2005,5)=y2005m5$
\end_inset 

 será el IT que representa el mes 5 del año 2005, su granularidad será 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset 

mensual
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

.
\layout Itemize


\begin_inset Formula $it_{3}=IT(2005,5,15)=y2005m5d15$
\end_inset 

 será el IT que representa el día 15 de Mayo de 2005, su granularidad será
 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset 

diaria
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

.
\layout Itemize


\begin_inset Formula $it_{4}=IT(2005,5,15,0)=y2005m5d15h0$
\end_inset 

 será el IT que representa la hora 0 del día 15 de Mayo de 2005, su granularidad
 será 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset 

horaria
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

.
\layout Itemize


\begin_inset Formula $it_{5}=IT(2005,5,15,0,53)=y2005m5d15h0i53$
\end_inset 

 será el IT que representa el minuto 53 de la hora 0 del día 15 de Mayo
 de 2005, su granularidad será 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset 

minutal
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

.
\layout Itemize


\begin_inset Formula $it_{6}=IT(2005,5,15,0,53,12)=y2005m5d15h0i53s12$
\end_inset 

 será el IT que representa el segundo 12 del minuto 53 de la hora 0 del
 día 15 de Mayo de 2005, su granularidad será 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset 

secundal
\begin_inset Quotes erd
\end_inset 

.
\layout Subsubsection

Relación de Equivalencia
\layout Standard

Se define la siguiente relación binaria entre instantes de tiempo
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)=\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\Leftrightarrow k=k'\wedge g=g'\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Es decir dos instantes de tiempo son iguales si y sólo si tienen el mismo
 origen y la misma granularidad.
 Obviamente se trata de una 
\emph on 
relación de equivalencia
\emph default 
, es decir, cumple las propiedades 
\emph on 
reflexiva
\emph default 
, 
\emph on 
simétrica
\emph default 
 y 
\emph on 
transitiva
\emph default 
.
\layout Subsubsection

Operadores siguiente y anterior de un IT
\begin_inset LatexCommand \label{sub:IT-Siguiente-de-un-IT}

\end_inset 


\layout Standard

El 
\series bold 
IT siguiente de un IT
\series default 
 es el instante de tiempo inmediatamente superior en la granularidad del
 IT, lo cual se puede expresar formalmente como 
\begin_inset Formula \[
\mathcal{I}\left(k,g\right)+1=\mathcal{I}\left(k+1,g\right)=\left[\left(k+1\right)\bullet g,\left(k+2\right)\bullet g\right)\]

\end_inset 


\layout Standard

Del mismo modo el 
\series bold 
IT anterior de un IT
\series default 
 es el instante de tiempo inmediatamente inferior en la granularidad del
 IT, lo cual se puede expresar formalmente como 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)-1=\mathcal{I}\left(k-1,g\right)=\left[\left(k-1\right)\bullet g,k\bullet g\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Estas operaciones se pueden aplicar recursivamente 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)+n=\mathcal{\mathcal{I}}\left(k+n,g\right)=\left[\left(k+n\right)\bullet g,\left(k+n+1\right)\bullet g\right)\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\\
\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)-n=\mathcal{\mathcal{I}}\left(k-n,g\right)=\left[\left(k-n\right)\bullet g,\left(k-n+1\right)\bullet g\right)\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\\
\mathcal{I}\left(k,g\right)+0=\mathcal{I}\left(k,g\right)-0=\mathcal{I}\left(k+0,g\right)=\mathcal{I}\left(k,g\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por lo tanto se puede extender el concepto de 
\series bold 
IT siguiente 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo de un IT
\series default 
 a todo 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset 

.
\layout Standard

Obsérvese que esta operación es neutra respecto a los IT impropios
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(-\infty\right)+n=\mathcal{I}\left(-\infty\right)\forall n\in\mathbb{Z}\\
\mathcal{I}\left(\infty\right)+n=\mathcal{I}\left(\infty\right)\forall n\in\mathbb{Z}\\
\mathcal{I}\left(?\right)+n=\mathcal{I}\left(?\right)\forall n\in\mathbb{Z}\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

He aquí algunos ejemplos ilustrativos:
\layout Standard


\begin_inset Formula $y2005+1=y2006$
\end_inset 

 
\layout Standard


\begin_inset Formula $y2005-1=y2004$
\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula $y2005m3-10=y2004m5$
\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula $y2006m9d4h23+2=y2006m9d5h1$
\end_inset 


\layout Subsubsection

Relación de Orden
\layout Standard

Se define la siguiente relación binaria entre instantes de tiempo
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)<\mathcal{I}\left(k',g'\right)\Leftrightarrow\left(k\bullet g<k'\bullet g'\right)\vee\left(k\bullet g=k'\bullet g'\wedge g<g'\right)\end{equation}

\end_inset 

que se lee así: un IT 
\emph on 
es estrictamente menor que
\emph default 
 otro si y sólo sí, o bien comienza antes, o bien comienza en el mismo momento
 pero acaba antes.
 Por ejemplo,
\begin_inset Formula $y2005<y2006$
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula $y2005m1<y2005$
\end_inset 


\layout Standard

En virtud de dicha relación se puede definir la relación binaria
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\leq\mathcal{I}\left(k',g'\right)\Leftrightarrow\mathcal{I}\left(k,g\right)<\mathcal{I}\left(k',g'\right)\vee\mathcal{I}\left(k,g\right)=\mathcal{I}\left(k',g'\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Esta relación cumple las propiedades de una 
\emph on 
relación de orden total
\layout Itemize


\emph on 
Reflexiva
\emph default 
: todo IT es menor o igual que sí mismo, 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\leq\mathcal{I}\left(k,g\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize


\emph on 
Antisimétrica
\emph default 
: si un IT es menor o igual que otro y viceversa entonces son iguales 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\leq\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\wedge\mathcal{I}\left(k',g'\right)\leq\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\Rightarrow\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)=\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize


\emph on 
Transitiva
\emph default 
: si un IT es menor o gual que otro y éste lo es respecto a un tercero entonces
 el primero es menor o igual que este último 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\leq\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\wedge\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\leq\mathcal{\mathcal{I}}\left(k'',g''\right)\Rightarrow\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)=\mathcal{\mathcal{I}}\left(k'',g''\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize


\emph on 
Conexa
\emph default 
: dados dos IT cualesquiera uno de los dos es menor o igual que el otro
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\leq\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\vee\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\leq\mathcal{I}\left(k,g\right)\forall\mathcal{I}\left(k,g\right),\mathcal{I}\left(k',g'\right)\in\mathfrak{C}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por lo tanto es posible definir de la forma usual las funciones típicas
 de un orden total como el mínimo y el máximo de un conjunto de IT's o el
 límite por la izquierda y por la derecha.
\layout Standard

Obsérvese que no es posible comparar un IT con 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(?\right)$
\end_inset 

 y que
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(-\infty\right)<\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)<\mathcal{I}\left(\infty\right)\forall\mathcal{I}\left(k,g\right)\in\mathfrak{C}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Relación de Inclusión
\layout Standard

Se define la siguiente relación binaria de inclusión entre instantes de
 tiempo como 
\begin_inset Formula \begin{equation}
it'\subset it\Leftrightarrow startOf(it)\leqslant startOf(it')\wedge startOf(Succ(it))\geqslant startOf(Succ(it'))\end{equation}

\end_inset 

 que se lee así: un IT está incluido en otro si no comienza antes ni termina
 después.
 En la notación usada anteriormente se expresaría así
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
it'=\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\subset\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)=it\Leftrightarrow k\bullet g\leq k'\bullet g'\wedge\left(k'+1\right)\bullet g'\leq\left(k+1\right)\bullet g\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por ejemplo 
\begin_inset Formula $y2005m1\subset y2005$
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula $y2005m1d1h12\subset y2005m1d1$
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula $y2005m1d1h12i6\subset y2005m1$
\end_inset 

.
 
\layout Standard

Obsérvese que la inclusión no está definida si interviene 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(?\right)$
\end_inset 

 y que tanto 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(-\infty\right)$
\end_inset 

 como 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(\infty\right)$
\end_inset 

 ni incluyen ni están incluidos en ningún otro IT.
\layout Standard

Se define también la relación de inclusión estricta
\begin_inset Formula \begin{equation}
it'\subsetneq it\Leftrightarrow it'\subset it\wedge it\neq it'\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Esta relación cumple las propiedades de una relación de 
\emph on 
orden parcial
\emph default 
 pero no un orden total, pues claramente no es conexa, ya que puede ocurrir
 que un instante temporal no esté incluido en otro ni éste en aquel.
 En tal caso, uno de ellos será estrictamente menor que el otro, ya que
 lo que no puede haber es instantes temporales solapados parcialmente, debido
 a la propia definición de la base de granularidades gregoriana.
\layout Subsubsection

Interior de un IT
\layout Standard

Para cada IT se puede definir la clase de todos los IT's que están incluidos
 en ese IT, a la que llamaremos 
\series bold 
interior de un IT
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Inside\left(it\right)=\left\{ it'\in\mathfrak{C}_{6}\left|it'\subset it\right.\right\} \label{eq:inside}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por ejemplo 
\begin_inset Formula \[
Inside\left(y2005m1d1h12i6\right)=\left\{ y2005m1d1h5i6,\, y2005m1d1h5i6s0,\,...,\, y2005m1d1h5i6s59\right\} \]

\end_inset 


\layout Standard

Obviamente, el interior de un IT contiene el interior de cada uno de sus
 elementos y por lo tanto los elementos del interior de un IT tienen todas
 las granularidades menos gruesas que la de ese IT, excepto él mismo, claro
 está, que tiene la granularidad más gruesa de todos.
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\in Inside\left(\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\right)\Rightarrow Inside\left(\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\right)\subset Inside\left(\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\right)\\
\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\in Inside\left(\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\right)-\left\{ \mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\right\} \Rightarrow g'<g\\
g'\leq g\Rightarrow\exists\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\in Inside\left(\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right)\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Como corolario se puede extraer que el interior de un IT tiene al menos
 un elemento de granularidad secundal.
\layout Subsubsection

Contenedores de un IT
\layout Standard

Para cada IT 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)$
\end_inset 

 de granularidad 
\begin_inset Formula $h<g$
\end_inset 

 existe un único IT de granularidad 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 que lo incluye, pongamos 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(l,g\right)$
\end_inset 

, al que llamaremos 
\emph on 
contenedor de 
\emph default 

\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)$
\end_inset 

 
\emph on 
en la granularidad
\emph default 
 
\begin_inset Formula $g>h$
\end_inset 

 y se escribirá
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(l,g\right)=g^{-1}\mathcal{I}\left(k,h\right)\Leftrightarrow\mathcal{I}\left(k,h\right)\subset\mathcal{I}\left(l,g\right)\Leftrightarrow k\in\left[a,b\right]\cap\mathbb{Z}\;\forall h<g\label{eq:container}\end{equation}

\end_inset 

donde a los valores límite 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset 

 de la expresión anterior les llamaremos
\emph on 
 límites superior e inferior de
\emph default 
 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(l,g\right)$
\end_inset 

 
\emph on 
en la granularidad
\emph default 
 
\begin_inset Formula $h<g$
\end_inset 

.
 Según se puede ver en la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{eq:GraQuo}

\end_inset 

 se pueden calcular mediante inversiones granulares de los puntos inicial
 y final de 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(l,g\right)$
\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{l}
a=\liminf_{h}\left(\mathcal{I}\left(l,g\right)\right)=h^{-1}\left(l\bullet g\right)\\
b=\limsup_{h}\left(\mathcal{I}\left(l,g\right)\right)=h^{-1}\left(\left(l+1\right)\bullet g\right)-1\end{array}\;\forall h<g\label{eq:limgra}\end{equation}

\end_inset 


\layout Section
\pagebreak_top 
Conjuntos Temporales
\layout Standard

Un 
\series bold 
conjunto temporal
\series default 
, en adelante 
\series bold 
CT
\series default 
, es un tipo especial de conjunto de instantes de tiempo con cierta estructura
 y que cumple determinadas normas que se explican a continuación.
 Más adelante se exponen algunas propiedades importantes así como algunas
 operaciones algebraicas que se pueden definir entre CT's y también otras
 que relacionan CT's e IT's.
\layout Subsection

Definición y propiedades de un CT
\layout Standard

Un CT es un conjunto de instantes de tiempo propios de cualquier granularidad
 básica que incluye el interior de cada uno de sus elementos.
 
\layout Standard

A la familia de todos los conjuntos temporales le llamaremos 
\begin_inset Formula $\mathcal{CT}_{6}$
\end_inset 

 y se tendrá 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
CT\in\mathcal{CT}_{6}\Leftrightarrow CT\subset\mathfrak{C}_{6}-\left\{ \mathcal{I}\left(?\right),\mathcal{I}\left(-\infty\right)\mathcal{I}\left(\infty\right)\right\} \;\wedge\; Inside\left(it\right)\subset CT\:\forall it\in CT\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

La cardinalidad de 
\begin_inset Formula $\mathcal{CT}_{6}$
\end_inset 

 será por tanto la misma que la del conjunto 
\begin_inset Formula $\mathcal{P}\left(\mathfrak{C}_{6}\right)$
\end_inset 

 de las partes de 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}$
\end_inset 

, es decir, la del continuo 
\begin_inset Formula $\infty^{\infty}$
\end_inset 

.
\layout Subsubsection

Sucesiones disjuntas de IT's
\layout Standard

Llamaremos 
\emph on 
sucesión disjunta de IT's
\emph default 
 a una sucesión de IT's tales que ninguno de ellos está incluido en ningún
 otro.
 Puesto que los IT's no se pueden solapar parcialmente es lo mismo que decir
 que todos sus elementos son disjuntos.
 Es decir una sucesión disjunta es de la forma
\begin_inset Formula \begin{equation}
S=\left\{ it_{j}\right\} _{j\in J\subset\mathbb{Z}}\bot it_{j}\subsetneq it_{j'}\forall j\neq j'\wedge j,\, j'\in J\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

donde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset 

 es el conjunto de índices enteros contiguos de la sucesión que tiene efecto
 puramente nominal, es decir, dos sucesiones disjuntas se considerarán iguales,
 si y sólo si ambas tienen exactamente los mismos elementos, independientemente
 de que sus conjuntos de índices sean iguales, o bien sea el uno cualquier
 translación del otro.
 Al conjunto de todas las sucesiones disjuntas de IT's le llamaremos 
\begin_inset Formula $\mathcal{SD}_{6}$
\end_inset 

.
\layout Standard

Se define la 
\emph on 
suma
\emph default 
 
\emph on 
disjunta de dos sucesiones disjuntas de IT's 
\emph default 
y se representará mediante el operador 
\begin_inset Formula $S\oplus S'$
\end_inset 

 como la sucesión disjunta resultante de la unión de ambas sucesiones, eliminand
o de cada una todos aquellos IT's que estén incluidos estrictamente en algún
 elemento de la otra sucesión.
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
S\oplus S'=\left\{ \left.it\in S\right|\nexists it'\in S'\bot it\subsetneq it'\right\} \cup\left\{ \left.it'\in S'\right|\nexists it\in S\bot it'\subsetneq it\right\} \\
S\oplus S'\in\mathcal{SD}_{6}\;\forall S,\: S'\in\mathcal{SD}_{6}\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Se define el 
\emph on 
producto disjunto de dos sucesiones disjuntas de IT's 
\emph default 
como su propia intersección y se representará mediante el operador 
\begin_inset Formula $S_{1}\otimes S_{2}=S_{1}\cap S_{2}$
\end_inset 

.
 Como ningún elemento de 
\begin_inset Formula $S_{1}$
\end_inset 

 incluye a ningun otro de 
\begin_inset Formula $S_{1}$
\end_inset 

 y ningún elemento de 
\begin_inset Formula $S_{2}$
\end_inset 

 incluye a ninguno de 
\begin_inset Formula $S_{2}$
\end_inset 

, los que pertenezcan a ambos a la vez tampoco incluirán a ningún otro de
 la intersección.
\begin_inset Formula \begin{equation}
S\otimes S'=S_{1}\cap S_{2}\in\mathcal{SD}_{6}\;\forall S,\: S'\in\mathcal{SD}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Se define la 
\emph on 
diferencia
\emph default 
 
\emph on 
disjunta de dos sucesiones disjuntas de IT's 
\emph default 
y se representará mediante el operador 
\begin_inset Formula $S_{1}\ominus S_{2}$
\end_inset 

 como la sucesión disjunta de los elementos de 
\begin_inset Formula $S_{1}$
\end_inset 

 que no incluyen estrictamente a ningún elemento de 
\begin_inset Formula $S_{2}$
\end_inset 

.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
S\ominus S'=\left\{ \left.it\in S\right|\nexists it'\in S'\bot it'\subsetneq it\right\} \in\mathcal{SD}_{6}\;\forall S,\: S'\in\mathcal{SD}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Llamaremos
\emph on 
 conjunto temporal generado por una sucesión disjunta
\emph default 
 a la unión de los interiores de los elementos de esa sucesión
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\underbrace{S}=\bigcup_{it\in S}Inside\left(it\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Sucesión maximal de un CT
\layout Standard

Para todo elemento IT de un CT existe un elemento máximo de CT que le contiene,
 al que llamaremos 
\emph on 
elemento maximal de IT en CT
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Maximal\left(it,CT\right)=it'\Leftrightarrow it''\subset it'\in CT\:\forall\: it\subset it''\in CT\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Se dice que un IT de un CT es un 
\emph on 
elemento maximal
\emph default 
 de ése CT si es su propio maximal en CT, es decir, si no pertenece al interior
 de ningún otro elemento de ese CT.
 A la sucesión disjunta, finita o infinita, de los elementos maximales de
 un CT, ordenada de menor a mayor, le llamaremos 
\emph on 
sucesión maximal 
\emph default 
de ese CT
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Maximal\left(CT\right)=\overbrace{CT}=\left\{ it_{j}\right\} _{j\in J\subset\mathbb{Z}}\wedge\left\{ \begin{array}{c}
it_{j}=Maximal\left(it_{j},CT\right)\\
it_{j}<it_{j+1}\end{array}\right.\forall j,\, j+1\in J\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Los interiores de dos elementos maximales distintos de un mismo CT son conjuntos
 disjuntos, es decir
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
it\neq it'\Leftrightarrow Inside\left(it\right)\cap Inside\left(it'\right)=\emptyset\;\forall it,it'\in\overbrace{CT}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por lo tanto, todo CT es el 
\emph on 
conjunto temporal generado por su sucesión maximal 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
CT=\overbrace{\underbrace{CT}}=\bigcup_{it\in\overbrace{CT}}Inside\left(it\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El 
\series bold 
sucesor maximal de un IT en un CT
\series default 
 se define como el primer elemento maximal del CT que es estrictamente posterior
 a dicho IT.
 Análogamente, el 
\series bold 
predecesor maximal de un IT en un CT
\series default 
 se define como el último elemento maximal del CT que es estrictamente anterior
 a dicho IT.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
it+\overbrace{CT}=it'\Leftrightarrow it'\in\overbrace{CT}\wedge it<it'\leq it''\:\forall it''\in\overbrace{CT}\\
it-\overbrace{CT}=it'\Leftrightarrow it'\in\overbrace{CT}\wedge it>it'\geq it''\:\forall it''\in\overbrace{CT}\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Sucesor
\series bold 
 
\series default 
y predecesor de un IT en un CT
\layout Standard

Se define el punto
\emph on 
 inmediatamente superior a un IT en un CT
\emph default 
, o 
\series bold 
supremo de un IT en un CT
\series default 
, como el menor valor real posterior al punto final de ese IT tal que existe
 algún elemento del CT cuyo punto de inicio sea ese valor.
 De forma análoga se define el punto
\emph on 
 inmediatamente inferior a un IT en un CT
\emph default 
, o 
\series bold 
ínfimo de un IT en un CT
\series default 
, como el mayor valor real estrictamente menor que el punto inicial de ese
 IT tal que existe algún elemento del CT cuyo punto final sea ese valor.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{l}
\sup\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)=\min\left\{ \left.t\in\mathbb{R}\right|\exists\mathcal{I}\left(k',g'\right)\in CT\bot\left(k+1\right)\bullet g\leq t=k'\bullet g'\right\} \\
\inf\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)=\max\left\{ \left.t\in\mathbb{R}\right|\exists\mathcal{I}\left(k',g'\right)\in CT\bot k\bullet g>t=\left(k'+1\right)\bullet g'\right\} \end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Al subconjunto de CT de los elementos cuyo origen es el supremo de un IT
 en ese CT se le llamará 
\series bold 
subconjunto supremo de IT en CT
\series default 
.
 De forma análoga, al subconjunto de CT de los elementos cuyo origen es
 el ínfimo de un IT en ese CT se le llamará 
\series bold 
subconjunto ínfimo de IT en CT
\series default 
.
 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
cSup\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)=\left\{ \left.\mathcal{I}\left(k',g'\right)\in CT\right|k'\bullet g'=\sup\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)\right\} \\
cInf\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)=\left\{ \left.\mathcal{I}\left(k',g'\right)\in CT\right|k'\bullet g'=\inf\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)\right\} \end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El subconjunto supremo de un IT en un CT es el interior del sucesor maximal
 de IT en CT.
 Del mismo modo, el subconjunto ínfimo de un IT en un CT es el interior
 del predecesor maximal de IT en CT.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
cSup\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)=Inside\left(\mathcal{I}\left(k,g\right)+\overbrace{CT}\right)\\
cInf\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)=Inside\left(\mathcal{I}\left(k,g\right)-\overbrace{CT}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El 
\series bold 
sucesor de un IT en un CT
\series default 
 se define como el elemento del subconjunto supremo de IT en CT que tiene
 la máxima granularidad no superior a la del propio IT.
 El 
\series bold 
predecesor de un IT en un CT
\series default 
 se define como el elemento del subconjunto ínfimo de IT en CT que tiene
 máxima granularidad no superior a la del propio IT.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(k,g\right)+CT=\mathcal{I}\left(k',g'\right)\Leftrightarrow\mathcal{I}\left(k',g'\right)\in X=cSup\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)\wedge g''<g'\leq g\forall\mathcal{I}\left(k'',g''\right)\in X\\
\mathcal{I}\left(k,g\right)-CT=\mathcal{I}\left(k',g'\right)\Leftrightarrow\mathcal{I}\left(k',g'\right)\in Y=cInf\left(\mathcal{I}\left(k,g\right),CT\right)\wedge g''<g'\leq g\forall\mathcal{I}\left(k'',g''\right)\in Y\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Tanto el sucesor como el predecesor de un IT en un CT, si existen, entonces
 son únicos por su propia definición, ya que no puede haber dos IT's distintos
 con la misma granularidad y el mismo origen en el supremo, ni tampoco con
 el mismo final en el ínfimo.
\layout Subsubsection

Sucesor 
\series bold 

\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo 
\series default 
de un IT en un CT
\layout Standard

Se puede extender recursivamente la definición de
\series bold 
 sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo de un IT en un CT
\series default 
 del siguiente modo 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
it+n\times CT=\left(it+\left(n-1\right)\times CT\right)+CT\;\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\\
it-n\times CT=\left(it-\left(n-1\right)\times CT\right)-CT\;\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El caso de 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset 

 es realmente singular pues para que exista 
\begin_inset Formula $it+0\times CT=it-0\times CT$
\end_inset 

 es necesario que se igualen las dos reglas de recursión anteriores
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
it+0\times CT=\left(it-CT\right)+CT\\
it-0\times CT=\left(it+CT\right)-CT\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Si 
\begin_inset Formula $it\in CT$
\end_inset 

 entonces está claro que 
\begin_inset Formula $\left(it-CT\right)+CT=it=\left(it+CT\right)-CT$
\end_inset 

 pero si 
\begin_inset Formula $it\notin CT$
\end_inset 

 entonces el sucesor en 
\begin_inset Formula $CT$
\end_inset 

 del predecesor de 
\begin_inset Formula $it$
\end_inset 

 en 
\begin_inset Formula $CT$
\end_inset 

 es el mismo que el sucesor de 
\begin_inset Formula $it$
\end_inset 

 en 
\begin_inset Formula $CT$
\end_inset 

, ya que no puede existir ningún elemento de 
\begin_inset Formula $CT$
\end_inset 

 entre ambos y por tanto
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\left(it+CT\right)=\left(it-CT\right)+CT\\
\left(it+CT\right)-CT<\left(it-CT\right)+CT\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Así pues no se puede definir 
\begin_inset Formula $it+0\times CT$
\end_inset 

 por lo que se ha de devolver 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(?\right)$
\end_inset 

.
 Es decir
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
it+0\times CT=\left\{ \begin{array}{cc}
it & si\: it\in CT\\
\mathcal{I}\left(?\right) & si\: it\notin CT\end{array}\right.\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Granularidad de un CT
\layout Standard

Cada elemento de un CT puede tener una granularidad distinta y todo CT tiene
 al menos un IT de granularidad secundal.
 Sin embargo nada le obliga a tener elementos de granularidad mayor que
 una dada.
 La granularidad de los elementos maximales de un CT conforman la sucesión
 de granularidades máximas que pueden tener sus elementos en cada intervalo
 de la recta real definido por cada IT maximal.
 Llamaremos 
\emph on 
granularidad minimax de un CT
\emph default 
 o simplemente 
\emph on 
granularidad de un CT
\emph default 
 a la menos gruesa de las granularidades de sus elementos maximales.
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(CT\right)=\min_{it\in\overbrace{CT}}\left\{ granul\left(it\right)\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

En determinadas circunstancias, cuando se calcula el sucesor de un IT en
 un conjunto, el conocer su granularidad puede ayudar a ahorrar trabajo
 en la búsqueda dentro del subconjunto supremo de ese IT en el CT.
 La información es particularmente útil en conjuntos temporales 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

 un conjunto de granularidad 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 fija para todos sus maximales.
 En tal caso, para cada IT de granularidad 
\begin_inset Formula $h<g$
\end_inset 

 se puede calcular el contenedor de 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)$
\end_inset 

 de granularidad 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

, así como los límites inferior y superior de dicho contenedor, según se
 vio en las ecuaciones 
\begin_inset LatexCommand \ref{eq:container}

\end_inset 

 y 
\begin_inset LatexCommand \vref{eq:limgra}

\end_inset 

 y que se escriben aquí como funciones de 
\begin_inset Formula $\left(k,h,g\right)$
\end_inset 

 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(l,g\right)=g^{-1}\mathcal{I}\left(k,h\right)\\
a\left(k,h,g\right)=\liminf_{h}\left(\mathcal{I}\left(l,g\right)\right)=h^{-1}\left(l\bullet g\right)\\
b\left(k,h,g\right)=\limsup_{h}\left(\mathcal{I}\left(l,g\right)\right)=h^{-1}\left(\left(l+1\right)\bullet g\right)-1\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Si 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)\notin Ct$
\end_inset 

 entonces ningún elemento de granularidad 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset 

 incluido en su contenedor de granularidad 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 puede pertenecer a 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

; y si 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)\in Ct$
\end_inset 

 entonces todos los elementos de granularidad 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset 

 incluidos en su contenedor de granularidad 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

 pertenecen a 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(j,h\right)\in Ct\:\forall a\left(k,h,g\right)\leq j\leq b\left(k,h,g\right)\Leftrightarrow\mathcal{I}\left(k,h\right)\in Ct\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por un lado, si 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)\in Ct$
\end_inset 

 tenemos un método que reduce drásticamente el coste computacional del sucesor
 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,h\right)+n\times Ct=\mathcal{I}\left(k+n,h\right)\:\forall n=a-k,...,b-k\label{eq:nsucgratmset}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por otro lado, si 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)\notin Ct$
\end_inset 

 el sucesor y el predecesor simples hay que buscarlos fuera de su contenedor
 de granularidad 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(k,h\right)+Ct=\mathcal{I}\left(b\left(k,h,g\right),h\right)+Ct\\
\mathcal{I}\left(k,h\right)-Ct=\mathcal{I}\left(a\left(k,h,g\right),h\right)-Ct\end{array}\label{eq:presucgraset}\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Fechados
\layout Standard

Se llamará 
\series bold 
fechado
\series default 
 a un conjunto temporal 
\begin_inset Formula $F\in\mathcal{CT}_{6}$
\end_inset 

 no acotado inferior ni superiormente, es decir, que cumpla que
\begin_inset Formula \begin{equation}
\forall t\in\mathbb{R}\:\exists\,\mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right),\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\in F\bot k\bullet g<t<k'\bullet g'\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Evidentemente, la sucesión maximal de un fechado no está acotada ni inferior
 ni superiormente.
\layout Standard

El sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo de un IT finito 
\begin_inset Formula $it\in\mathfrak{C}_{6}-\left\{ \mathcal{\mathcal{I}}\left(-\infty\right),\mathcal{\mathcal{I}}\left(\infty\right)\right\} $
\end_inset 

 también es finito, es decir 
\begin_inset Formula \begin{equation}
it+n\times F\notin\left\{ \mathcal{\mathcal{I}}\left(-\infty\right),\mathcal{\mathcal{I}}\left(\infty\right)\right\} \forall n\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Los fechados tienen una gran importancia pues son la base para la creación
 de series temporales en tiempo continuo, así como para la definición de
 algunas operaciones importantes de CT's que se verán más adelante.
 
\layout Standard

Aunque los instantes impropios 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(-\infty\right),\:\mathcal{I}\left(?\right),\:\mathcal{I}\left(\infty\right)$
\end_inset 

 no pertenecen a ningún CT, a veces se obrará como si así fuera por comodidad
 notacional.
 Los instantes límite pueden pertenecer asintóticamente a un CT, y no así
 el instante indeterminado.
 En el caso de los fechados, los instantes límite 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(-\infty\right),\:\mathcal{I}\left(\infty\right)$
\end_inset 

 le pertenecen asintóticamente.
 Se puede hablar de semifechados por la izquierda o por la derecha para
 aquellos CT que estén acotados sólo por la izquierda o por la derecha,
 respectivamente.
\layout Subsubsection

Distancia en un CT
\layout Standard

Se define la función distancia entre dos puntos reales en un CT como el
 número de IT's maximales de ese CT incluidos entre esos dos puntos.
 Es decir
\begin_inset Formula \begin{equation}
\left\langle t,\, t'\right\rangle _{CT}=Card\left\{ \left.\mathcal{\mathcal{I}}\left(j,g\right)\in\overbrace{CT}\right|t\leq j\bullet g<\left(j+1\right)\bullet g<t'\right\} \quad\forall t,\, t'\in\mathbb{R}\end{equation}

\end_inset 

Se define la distancia entre dos IT's en un CT como la distancia entre sus
 puntos de origen en ese mismo CT.
\begin_inset Formula \begin{equation}
\left\langle \mathcal{\mathcal{I}}\left(k,g\right),\,\mathcal{\mathcal{I}}\left(k',g'\right)\right\rangle _{CT}=\left\langle k\bullet g,\, k'\bullet g'\right\rangle _{CT}\quad\forall k,\, k'\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Notas para la implementación de CT's
\layout Standard

Un CT se puede construir de varias formas:
\layout Itemize

Por enumeración exhaustiva de sus elementos maximales, siempre que sea un
 conjunto finito.
\layout Itemize

Mediante una función booleana explícita de pertenencia que devuelva 
\emph on 
cierto
\emph default 
 para cada IT que sea elemento suyo y 
\emph on 
falso
\emph default 
 para el resto.
\begin_inset Formula \begin{equation}
Include\left(CT,it\right)=\left\{ \begin{array}{cc}
1 & si\, it\in CT\\
0 & si\, it\notin CT\end{array}\right.\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

Implícitamente, mediante un IT que le pertenezca y una regla de recursión
 reversible, es decir, que permita calcular cuál es el IT de ese conjunto
 inmediatamente superior (
\series bold 
sucesor
\series default 
) o inferior (
\series bold 
predecesor
\series default 
) a un IT cualquiera.
 
\layout Standard

Sin embargo, será indispensable implementar al menos los métodos 
\begin_inset Formula $Include\left(CT,it\right)$
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula $it+CT$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $it-CT$
\end_inset 

 para cada clase de CT y cada posible granularidad de 
\begin_inset Formula $it$
\end_inset 

 de la forma más eficiente que sea posible aprovechando las características
 propias de cada uno, ya que estos métodos se utilizarán de forma masiva
 en conjuntos y series temporales.
 Siempre que sea posible y dé mayores prestaciones, también se implementará
 el método extendido 
\begin_inset Formula $it+n\times CT$
\end_inset 

, ya que, aunque por defecto este método se puede definir por recursión
 de sucesores y predecesores, se usará tan a menudo que cualquier mejora
 producirá importantes ahorros en el tiempo de proceso.
\layout Subsection

CT finitos
\layout Standard

Aquí se describen algunas clases de CT's finitos construidos de forma muy
 sencilla a partir de IT's
\layout Subsubsection

CT interior de un IT: 
\family typewriter 
Inside
\layout Standard

Dado un IT cualquiera se define el CT interior de ese IT como ya se ha descrito
 en 
\begin_inset LatexCommand \vref{eq:inside}

\end_inset 


\layout Standard
\align center 

\begin_inset Formula \begin{equation}
Inside\left(it\right)=\left\{ it'\in\mathfrak{C}_{6}\left|it'\subset it\right.\right\} \label{eq:inside}\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

CT generado por una lista de ITs: 
\family typewriter 
SetOfCTimes
\layout Standard

Dada una lista finita cualquiera de IT's, se puede construir una sucesión
 disjunta ordenando previamente el conjunto y eliminando los elementos que
 estén incluidos en otros, construyendo así su sucesión maximal que servirá
 para optimizar los métodos de cálculo.
 A esta operación le llamaremos conjunto temporal generado por una lista
 finita de IT's
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Formula \begin{equation}
SetOfCTimes(\left\{ it_{j}\right\} _{j=1,...,n})\,=\,\bigcup_{j=1}^{n}Inside\left(it_{j}\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

CT intervalo entre dos IT's: 
\family typewriter 
In
\layout Standard

Dados dos IT's 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset 

 cualesquiera se define el CT intervalo como
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Formula \begin{equation}
\left[a,b\right]=In\left(a,b\right)=\left\{ it\in\mathfrak{C}_{6}\,|\, a\leq it\leq b\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Subsection

CT's constantes
\layout Standard

Se trata de conjuntos temporales constantes en el sentido de que se definen
 sin necesidad de especificar ningún parámetro.
 La condición de incluir los interiores de todos sus elementos se desprende
 de las propias definiciones de forma trivial por lo que no se demuestra
 en cada caso.
 Todas estas constantes son fechados excepto el conjunto vacío.
\layout Standard

En primer lugar se describen los fechados básicos completos, en el sentido
 de que recubren toda la recta real en las diferentes granularidades básicas.
 Después se tratan el conjunto vacío y el fechado básico pascual.
\layout Subsubsection

Fechado básico completo anual o conjunto universal
\layout Standard

Llamaremos conjunto universal (cAll) o fechado anual (cYearly) al conjunto
 de todos los IT posibles que en esta implementación será el conjunto 
\begin_inset Formula $\mathfrak{C}_{6}$
\end_inset 


\begin_inset Formula \begin{equation}
it\in cAll\;\forall it\in\mathfrak{C}_{6}\end{equation}

\end_inset 

Evidentemente todos sus maximales tienen granularidad anual y por tanto
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(cAll\right)=g_{\mathbf{y}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El sucesor 
\series bold 

\begin_inset Formula $n$
\end_inset 


\series default 
-ésimo se calcula así:
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)+n\times cAll=\mathcal{I}\left(k,g\right)+n=\mathcal{I}\left(k+n,g\right)\forall n,\, k\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El conjunto universal y el fechado anual coinciden porque no se contemplan
 granularidades mayores que la anual.
 Si se considereran las granularidades correspondientes a las décadas o
 los siglos no sería así, pero siempre habría una granularidad máxima tal
 que el fechado completo correspondiente correspondería al conjunto universal.
\layout Subsubsection

Fechados básicos completos no universales: mensual, diario, horario, minutal
 y secundal
\layout Standard

El resto de fechados básicos completos son los siguientes:
\layout Itemize

Fechado mensual 
\series bold 
cMonthly:
\series default 
 el conjunto de todos los IT de granularidad mensual o menos gruesa.
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cMonthly\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{m}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

Fechado diario 
\series bold 
cDaily:
\series default 
 el conjunto de todos los IT de granularidad diaria o menos gruesa.
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cDaily\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{d}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

Fechado horario 
\series bold 
cHourly:
\series default 
 el conjunto de todos los IT de granularidad horaria o menos gruesa.
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cHourly\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{h}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

Fechado minutal 
\series bold 
cMinutely:
\series default 
 el conjunto de todos los IT de granularidad minutal o menos gruesa.
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cMinutely\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{i}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

Fechado secundal 
\series bold 
cSecondly:
\series default 
 el conjunto de todos los IT de granularidad secundal o menos gruesa
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cSecondly\Leftrightarrow g=g_{\mathbf{s}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Paragraph

Operaciones de sucesión de IT's
\layout Standard

A efectos puramente formales, no de implementación, denominamos de forma
 genérica 
\begin_inset Formula $FBC\left(g\right)$
\end_inset 

 al fechado básico completo de granularidad 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset 

.
 A continuación se describe un método de cálculo de las funciones de sucesión
 para el caso 
\begin_inset Formula $r=\mathbf{m}=2$
\end_inset 

, es decir, 
\begin_inset Formula $FBC\left(g_{\mathbf{m}}\right)=cMonthly$
\end_inset 

 de forma que sirva de ejemplo y de aclaración, y después se extrapola al
 caso general.
\layout Subparagraph

Caso particular: 
\begin_inset Formula $cMonthly$
\end_inset 

 
\layout Standard

El sucesor 
\series bold 

\begin_inset Formula $n$
\end_inset 


\series default 
-ésimo en cMonthly para IT's de granularidad 
\series bold 

\begin_inset Formula $h\leq g_{\mathbf{m}}$
\end_inset 


\series default 
 se calcula así:
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,h\right)+n\times cMonthly=\mathcal{I}\left(k+n,h\right)\;\forall n,\, k\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para CT's de granularidad anual se tienen las siguientes reglas de cálculo:
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
IT\left(y\right)+n\times cMonthly=\left(IT\left(y\right)+cMonthly\right)+\left(n-1\right)\times cMonthly\:\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\\
IT\left(y\right)-n\times cMonthly=\left(IT\left(y\right)-cMonthly\right)-\left(n-1\right)\times cMonthly\:\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\\
IT\left(y\right)+0\times cMonthly=I\left(?\right)\\
IT\left(y\right)+cMonthly=IT\left(y+1,1\right)=\\
IT\left(y\right)-cMonthly=IT\left(y-1,12\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Si 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,g_{\mathbf{y}}\right)=IT\left(y\right)$
\end_inset 

 , según se puede ver en la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{eq:limgra}

\end_inset 

, la expresión 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(g_{\mathbf{m}}^{-1}\left(k\bullet g_{\mathbf{y}}\right),g_{\mathbf{m}}\right)$
\end_inset 

 es el primer mes del año 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset 

, y por tanto 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(g_{\mathbf{m}}^{-1}\left(\left(k+1\right)\bullet g_{\mathbf{y}}\right)-1,g_{\mathbf{m}}\right)$
\end_inset 

 es el último mes del año 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset 

.
\layout Subparagraph

Caso general: 
\begin_inset Formula $FBC\left(g\right)$
\end_inset 

 
\layout Standard

El sucesor 
\series bold 

\begin_inset Formula $n$
\end_inset 


\series default 
-ésimo en 
\begin_inset Formula $FBC\left(g\right)$
\end_inset 

 para IT's de granularidad 
\series bold 

\begin_inset Formula $h\leq g$
\end_inset 


\series default 
 se calcula así:
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,h\right)+n\times FBC\left(g\right)=\mathcal{I}\left(k+n,h\right)\;\forall n,\, k\in\mathbb{Z}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para IT's de granularidad 
\series bold 

\begin_inset Formula $h>g$
\end_inset 


\series default 
 se calcula con las siguientes reglas:
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(k,h\right)+n\times FBC\left(g\right)=\left(\mathcal{I}\left(k,h\right)+FBC\left(g\right)\right)+\left(n-1\right)\times FBC\left(g\right)\:\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\\
\mathcal{I}\left(k,h\right)-n\times FBC\left(g\right)=\left(\mathcal{I}\left(k,h\right)-FBC\left(g\right)\right)-\left(n-1\right)\times FBC\left(g\right)\:\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\\
\mathcal{I}\left(k,h\right)+0\times FBC\left(g\right)=I\left(?\right)\\
\mathcal{I}\left(k,h\right)+FBC\left(g\right)=\mathcal{I}\left(g^{-1}\left(\left(k+1\right)\bullet h\right),g\right)\\
\mathcal{I}\left(k,g\right)-FBC\left(g\right)=\mathcal{I}\left(g^{-1}\left(k\bullet h\right)-1,g\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Conjunto vacío: cEmpty
\layout Standard

Llamaremos cEmpty al conjunto temporal vacío, es decir, al que no contiene
 ningún IT propio.
\begin_inset Formula \begin{equation}
it\notin cEmpty\;\forall it\in\mathfrak{C}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Evidentemente no se trata de un fechado aunque tampoco se puede decir que
 esté acotado.
 Se introduce en este punto preciso porque se trata del conjunto límite
 de la sucesión de los fechados básicos completos cuando la granularidad
 tiende al continuo, y por tanto se puede decir que 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(cEmpty\right)=g_{\infty}\end{equation}

\end_inset 

El sucesor 
\series bold 

\begin_inset Formula $n$
\end_inset 


\series default 
-ésimo se calcula así:
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)+n\times cEmpty=\left\{ \begin{array}{cc}
\mathcal{I}\left(-\infty\right) & si\: n<0\\
\mathcal{I}\left(?\right) & si\: n=0\\
\mathcal{I}\left(\infty\right) & si\: n>0\end{array}\right.\forall n,\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Fechado básico pascual: cEaster
\layout Standard

Llamaremos cEaster al conjunto de todos IT pertenecientes a los domingos
 de Pascua de cualquier año, que por estar incluidos en un día del año han
 de tener granularidades diaria, horaria, minutal o secundal y todos sus
 maximales tienen granularidad diaria, luego
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(cEaster\right)=g_{\mathbf{d}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

La definición del domingo de Pascua es relativamente sencilla: se trata
 del primer domingo posterior a la primera luna llena tras el equinoccio
 de primavera.
 Sin embargo los métodos con los que la iglesia calcula las efemérides astronómi
cas es muy primitivo y recurre a ciertas modificaciones 
\emph on 
ad-hoc,
\emph default 
 por lo que no siempre coincide con la definición exacta.
 Aunque como se ha dicho en esta implementación se utiliza la librería 
\emph on 
libtai
\emph default 
 se incluye aquí el siguiente código C++ que calcula de forma sencilla el
 domingo de Pascua para cualquier año para que el lector observe el grado
 de complejidad del cálculo.
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
void CalcEaster(int year, int& monthEaster, int& dayEaster)
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
{
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  long y, g, c, x, z, d, e, n;
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  g=y%19+1; // Calcular el numero aureo
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  c=y/1OO+1; 
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  x=3*c/4-12; 
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  z=(8*c+5)/25-5; 
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  d=5*y/4-x-10; 
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  e=(11*g+20+z-x)%30; // Calcular la epacta
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  if (e==25&&g>11) e--;
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  // Calcular la fecha de la luna
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  // segun el ciclo de Meton 
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  n=44-e; 
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  if (n<21) n+=30; // Si la fecha es anterior al 21 de
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
                   // marzo aumentar a abril
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  n=n+7-(d+n)%7; 
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  if(n>31) { monthEaster = 4; dayEaster = n-31; }
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
  else     { monthEaster = 3; dayEaster = n; }
\layout LyX-Code


\size footnotesize 
\color blue
}
\layout Standard

Merced a esta función se puede determinar el IT 
\begin_inset Formula $easter\left(year\right)=IT(year,monthEaster,dayEaster)$
\end_inset 

 para cualquier año:
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cEaster\Leftrightarrow\mathcal{I}\left(k,g\right)\subset easter\left(year\left(k\bullet g\right)\right)\end{equation}

\end_inset 

El sucesor 
\series bold 

\begin_inset Formula $n$
\end_inset 


\series default 
-ésimo se calcula así para 
\begin_inset Formula $g\geq g_{\mathbf{d}}$
\end_inset 

:
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g_{\mathbf{d}}\right)+n\times cEaster=\left\{ \begin{array}{cc}
easter\left(n+y\right) & si\:\mathcal{I}\left(k,g_{\mathbf{d}}\right)<easter\left(y\right)\\
easter\left(1+n+y\right) & si\:\mathcal{I}\left(k,g_{\mathbf{d}}\right)\geq easter\left(y\right)\end{array}\right.\wedge y=year\left(k\bullet g_{\mathbf{d}}\right)\end{equation}

\end_inset 


\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)+n\times cEaster=\mathcal{I}\left(g_{\mathbf{d}}^{-1}\left(\left(k+1\right)\bullet g\right)-1,g\right)+n\times cEaster\;\forall n,\, k\in\mathbb{Z},\, g>g_{\mathbf{d}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para 
\begin_inset Formula $g<g_{\mathbf{d}}$
\end_inset 

 el sucesor se calcula siguiendo el método dado en las ecuaciones 
\begin_inset LatexCommand \ref{eq:nsucgratmset}

\end_inset 

 y 
\begin_inset LatexCommand \vref{eq:presucgraset}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Funciones básicas de CT's 
\layout Standard

Los 
\emph on 
conjuntos temporales básicos
\emph default 
 son los creados mediante funciones que devuelven conjuntos temporales a
 partir de un parámetro dado, a las que llamaremos 
\emph on 
funciones básicas de CT's
\emph default 
.
 Al igual que ocurría con las constantes, la condición de incluir los interiores
 de todos sus elementos se desprende de las propias definiciones de forma
 trivial por lo que no se demuestra en cada caso.
 Todos estos conjuntos temporales básicos son fechados excepto cYear.
\layout Subsubsection

Función cYear(Y)
\layout Standard

La función cYear devuelve el conjunto temporal de todos los IT incluidos
 en un año dado
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cYear\left(Y\right)\Leftrightarrow year\left(k\bullet g\right)=Y\quad\forall Y\in RG_{\mathbf{y}},\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Evidentemente no es un fechado y su único maximal es 
\begin_inset Formula $IT\left(Y\right)$
\end_inset 

 de granularidad anual y por tanto
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(cYear\left(Y\right)\right)=g_{\mathbf{y}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Si 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k+n,g\right)$
\end_inset 

 queda dentro del año 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset 

, entonces será el sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo de 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,g\right)$
\end_inset 

 en 
\begin_inset Formula $cYear\left(Y\right)$
\end_inset 

.
 El sucesor en 
\begin_inset Formula $cYear\left(Y\right)$
\end_inset 

 del último instante de ese año para cada granularidad será 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(\infty\right)$
\end_inset 

 y análogamente el predecesor del primero será 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(-\infty\right)$
\end_inset 

.
 Todo esto expresado formalmente queda así:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)+n\times cYear\left(Y\right)=\left\{ \begin{array}{cccc}
\mathcal{I}\left(k+n,g\right) & si & year\left(\left(k+n\right)\bullet g\right)=Y\\
\mathcal{I}\left(?\right) & si & year\left(k\bullet g\right)\neq Y & \wedge n=0\\
\mathcal{I}\left(-\infty\right) & si & year\left(\left(k+n\right)\bullet g\right)<Y & \wedge n<0\\
\mathcal{I}\left(\infty\right) & si & year\left(\left(k+n\right)\bullet g\right)>y & \wedge n>0\end{array}\right.\forall n,\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Fechados básicos parciales: cMonth(M), cDay(D), cHour(H), cMinute(Mi), cSecond(S
), sWeekDay(W)
\layout Standard

En esta sección se tratan los llamados fechados básicos parciales, en el
 sentido de que no recubren la recta real, y que se definen por cada valor
 particular que puede tomar la coordenada gregoriana correspondiente a cada
 granularidad desde la mensual a la secundal; añadiéndose la granularidad
 semanal, que no es básica propiamente hablando, pero que por su gran utilidad
 se tratará como si lo fuera a estos efectos.
\layout Itemize

La función 
\series bold 
cMonth
\series default 
 devuelve el conjunto temporal de todos los IT incluidos en un mes del año
 dado para cualquier año pasado, presente o futuro
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cMonth\left(M\right)\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{m}}\wedge month\left(k\bullet g\right)=M\quad\forall M\in RG_{\mathbf{m}},\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

La función 
\series bold 
cDay
\series default 
 devuelve el conjunto temporal de todos los IT incluidos en un día de mes
 dado para cualquier mes y cualquier año pasado, presente o futuro
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cDay\left(D\right)\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{d}}\wedge day\left(k\bullet g\right)=D\quad\forall D\in RG_{\mathbf{d}},\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

La función 
\series bold 
cHour
\series default 
 devuelve el conjunto temporal de todos los IT incluidos en una hora dada
 para cualquier día pasado, presente o futuro
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cHour\left(H\right)\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{h}}\wedge hour\left(k\bullet g\right)=H\quad\forall H\in RG_{\mathbf{h}},\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

La función 
\series bold 
cMinute
\series default 
 devuelve el conjunto temporal de todos los IT incluidos en una hora dada
 para cualquier hora de cualquier día pasado, presente o futuro
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cMinute\left(Mi\right)\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{i}}\wedge minute\left(k\bullet g\right)=Mi\quad\forall Mi\in RG_{\mathbf{i}},\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

La función 
\series bold 
cSecond
\series default 
 devuelve el conjunto temporal de todos los IT incluidos en una hora dada
 para cualquier hora de cualquier día pasado, presente o futuro
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cSecond\left(S\right)\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{s}}\wedge second\left(k\bullet g\right)=S\quad\forall S\in RG_{\mathbf{s}},\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Itemize

La función 
\series bold 
cWeekDay
\series default 
 devuelve el conjunto temporal de todos los IT incluidos en una día de la
 semana dado para cualquier semana pasada, presente o futura
\begin_inset Formula \begin{equation}
\mathcal{I}\left(k,g\right)\in cWeekDay\left(W\right)\Leftrightarrow g\leq g_{\mathbf{d}}\wedge weekDay\left(k\bullet g\right)=W\quad\forall W\in RG_{\mathbf{w}},\, k\in\mathbb{Z},\, g\in\mathcal{G}_{6}\end{equation}

\end_inset 


\layout Paragraph

Operaciones de sucesión de IT's
\layout Standard

A efectos puramente formales, no de implementación, denominamos de forma
 genérica 
\begin_inset Formula $FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)$
\end_inset 

 al fechado básico parcial de granularidad 
\begin_inset Formula $g_{r}$
\end_inset 

 y coordenada gregoriana 
\begin_inset Formula $c_{r}$
\end_inset 

.
 A continuación se describe un método de cálculo de las funciones de sucesión
 para el caso 
\begin_inset Formula $r=\mathbf{m}=2$
\end_inset 

, es decir, 
\begin_inset Formula $FBP\left(g_{\mathbf{m}},\: M\right)=cMonth\left(M\right)$
\end_inset 

 de forma que sirva de ejemplo y de aclaración, y después se extrapola al
 caso general.
\layout Subparagraph

Caso particular: 
\begin_inset Formula $cMonth\left(M\right)$
\end_inset 

 
\layout Standard

Para IT's de granularidad mensual el sucesor y el predecesor simples en
 
\begin_inset Formula $cMonth\left(M\right)$
\end_inset 

 se calculan de forma muy sencilla
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
IT\left(y,m\right)+cMonth\left(M\right)=\left\{ \begin{array}{cc}
IT\left(y,M\right) & \forall m<M\\
IT\left(y+1,M\right) & \forall m\geq M\end{array}\right.\\
IT\left(y,m\right)-cMonth\left(M\right)=\left\{ \begin{array}{cc}
IT\left(y,M\right) & \forall m>M\\
IT\left(y-1,M\right) & \forall m\leq M\end{array}\right.\end{array}=\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para CT's de granularidad anual se tiene
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
IT\left(y\right)+cMonth\left(M\right)=IT\left(y,12\right)+cMonth\left(M\right)\\
IT\left(y\right)-cMonth\left(M\right)=IT\left(y,1\right)-cMonth\left(M\right)\end{array}=\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Recuérdese que para extrapolar los resultados a otras granularidades es
 más conveniente expresar 
\begin_inset Formula $IT\left(y,m\right)=\mathcal{I}\left(k,g_{\mathbf{m}}\right)$
\end_inset 

 y
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
IT\left(y,1\right)=\mathcal{I}\left(g_{\mathbf{m}}^{-1}\left(k\bullet g_{\mathbf{y}}\right),g_{\mathbf{m}}\right)\\
IT\left(y,12\right)=\mathcal{I}\left(g_{\mathbf{m}}^{-1}\left(\left(k+1\right)\bullet g_{\mathbf{y}}\right)-1,g_{\mathbf{m}}\right)\end{array}=\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Una vez internado en el propio 
\begin_inset Formula $cMonth\left(M\right)$
\end_inset 

 el sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo es trivial
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
IT\left(y,M\right)+n\times cMonth\left(M\right)=IT\left(y+n,M\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

De esta forma, se dispone de un método muy rápido para el cálculo del sucesor
 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo para las granularidades mensual y anual, o sea, para 
\begin_inset Formula $h\geq g_{\mathbf{m}}$
\end_inset 

: 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(k,h\right)+n\times cMonth\left(M\right)=\left(\mathcal{I}\left(k,h\right)+cMonth\left(M\right)\right)+\left(n-1\right)\times cMonth\left(M\right)\\
\mathcal{I}\left(k,h\right)-n\times cMonth\left(M\right)=\left(\mathcal{I}\left(k,h\right)-cMonth\left(M\right)\right)-\left(n-1\right)\times cMonth\left(M\right)\end{array}\:\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

ya que tanto 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)+cMonth\left(M\right)$
\end_inset 

 como 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,h\right)-cMonth\left(M\right)$
\end_inset 

 pertenecen siempre a 
\begin_inset Formula $cMonth\left(M\right)$
\end_inset 

 para 
\begin_inset Formula $h\geq g_{\mathbf{m}}$
\end_inset 

.
\layout Subparagraph

Caso general: 
\begin_inset Formula $FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)$
\end_inset 

 
\layout Standard

Para IT's de granularidad 
\begin_inset Formula $g_{r}$
\end_inset 

 el sucesor y el predecesor simples en 
\begin_inset Formula $FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)$
\end_inset 

 se calculan de forma muy sencilla
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
IT\left(c'_{1},\,...,\, c'_{r-1},\, c'_{r}\right)+FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)=\left\{ \begin{array}{cc}
IT\left(c'_{1},\,...,\, c'_{r-1},\, c'_{r},c'_{r}\right) & \forall c'_{r}<c_{r}\\
IT\left(c'_{1},\,...,\, c'_{r-1}+1,\, c'_{r}\right) & \forall c'_{r}\geq c_{r}\end{array}\right.\\
IT\left(c'_{1},\,...,\, c'_{r-1},\, c'_{r}\right)-FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)=\left\{ \begin{array}{cc}
IT\left(c'_{1},\,...,\, c'_{r-1},\, c'_{r},c'_{r}\right) & \forall c'_{r}>c_{r}\\
IT\left(c'_{1},\,...,\, c'_{r-1}-1,\, c'_{r}\right) & \forall c'_{r}\leq c_{r}\end{array}\right.\end{array}=\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para CT's de granularidad 
\begin_inset Formula $h>g_{r}$
\end_inset 

 se tiene
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(k,h\right)+FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)=\mathcal{I}\left(g_{r}^{-1}\left(\left(k+1\right)\bullet h\right)-1,g_{r}\right)+FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)\\
\mathcal{I}\left(k,h\right)-FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)=\mathcal{I}\left(g_{r}^{-1}\left(k\bullet h\right),g_{r}\right)-FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)\end{array}=\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Si tenemos 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,g_{r}\right)\in FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)$
\end_inset 

 el sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo se calcula simplemente desplazándolo su punto de inicio 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset 

 veces en la granularidad 
\begin_inset Formula $g_{r-1}$
\end_inset 

, que es la inmediatamente más gruesa que 
\begin_inset Formula $g_{r}$
\end_inset 

, y una vez en el propio 
\begin_inset Formula $FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)$
\end_inset 

, lo cual se puede expresar como
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(k,g_{r}\right)+n\times FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)=\mathcal{I}\left(l+n-1,g_{r-1}\right)+FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)\\
\mathcal{I}\left(k,g_{r}\right)-n\times FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)=\mathcal{I}\left(l-n+1,g_{r-1}\right)-FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)\end{array}\:\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\end{equation}

\end_inset 

donde 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(l,g_{r-1}\right)$
\end_inset 

 es el contenedor de 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,g_{r}\right)$
\end_inset 

 en la granularidad 
\begin_inset Formula $g_{r-1}$
\end_inset 

, tal y como se describe en la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{eq:container}

\end_inset 

.
\layout Standard

De esta forma, se dispone de un método muy rápido para el cálculo del sucesor
 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo para las granularidades 
\begin_inset Formula $h\geq g_{r}$
\end_inset 

 : 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mathcal{I}\left(k,h\right)+n\times FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)=\left(\mathcal{I}\left(k,h\right)+FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)\right)+\left(n-1\right)\times FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)\\
\mathcal{I}\left(k,h\right)-n\times FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)=\left(\mathcal{I}\left(k,h\right)-FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)\right)-\left(n-1\right)\times FBP\left(g_{r},\: c_{r}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para 
\begin_inset Formula $h<g_{r}$
\end_inset 

 el sucesor se calcula siguiendo el método dado en las ecuaciones 
\begin_inset LatexCommand \ref{eq:nsucgratmset}

\end_inset 

 y 
\begin_inset LatexCommand \vref{eq:presucgraset}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Operaciones Booleanas
\layout Standard

Las siguientes operaciones entre conjuntos temporales le dan a 
\begin_inset Formula $\mathcal{P}\left(\mathfrak{C}_{6}\right)$
\end_inset 

 una estructura de álgebra de Boole.
 Con ellas y otras más que se verán más adelante se pueden construir expresiones
 que den forma a las secuencias temporales más complicadas que se pueden
 encontrar en el análisis de series temporales.
\layout Subsubsection

Operación Suma de CT's
\layout Standard

La 
\emph on 
suma maximal
\emph default 
 o simplemente suma de dos conjuntos temporales es el conjunto generado
 por la sucesión resultante de la unión disjunta de las sucesiones maximales
 de ambos
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Ct_{1}+Ct_{2}=\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\oplus\overbrace{Ct_{2}}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Dicho de otra forma: el maximal de la suma de CT's es la suma disjunta de
 sus maximales.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\overbrace{Ct_{1}+Ct_{2}}=\overbrace{Ct_{1}}\oplus\overbrace{Ct_{2}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Es decir, los maximales de 
\begin_inset Formula $Ct_{1}+Ct_{2}$
\end_inset 

 son los maximales de 
\begin_inset Formula $Ct_{1}$
\end_inset 

 que no están incluidos en ningún maximal de 
\begin_inset Formula $Ct_{2}$
\end_inset 

 y los maximales de 
\begin_inset Formula $Ct_{2}$
\end_inset 

 que no están incluidos en ningún maximal de 
\begin_inset Formula $Ct_{1}$
\end_inset 

.
 Por lo tanto sólo se puede asegurar en términos generales que
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(Ct_{1}+Ct_{2}\right)\geq\min\left\{ granul\left(Ct_{1}\right),\: granul\left(Ct_{2}\right)\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard


\series bold 
\noun on 
Proposición:
\noun default 
 
\series default 
La suma de conjuntos temporales coincide con la unión de ambos conjuntos
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Ct_{1}+Ct_{2}=Ct_{1}\cup Ct_{2}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard


\series bold 
\noun on 
Demostración:
\series default 
\noun default 
 Los elementos de 
\begin_inset Formula $\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\oplus\overbrace{Ct_{2}}}$
\end_inset 

 están incluidos en elementos que pertenecen a 
\begin_inset Formula $Ct_{1}$
\end_inset 

 o a 
\begin_inset Formula $Ct_{2}$
\end_inset 

 por lo que también pertenecen a uno u otro, y se tiene que 
\begin_inset Formula $\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\oplus\overbrace{Ct_{2}}}\subset Ct_{1}\cup Ct_{2}$
\end_inset 

.
 Si 
\begin_inset Formula $it\in Ct_{1}$
\end_inset 

 entonces 
\begin_inset Formula $\exists it_{1}\in\overbrace{Ct_{1}}\subset\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}}\subset\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\oplus\overbrace{Ct_{2}}}\bot it\subset it_{1}$
\end_inset 

 luego 
\begin_inset Formula $it\in\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\oplus\overbrace{Ct_{2}}}$
\end_inset 

.
 Del mismo modo se demuestra que si 
\begin_inset Formula $it\in Ct_{2}$
\end_inset 

 entonces 
\begin_inset Formula $it\in\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\oplus\overbrace{Ct_{2}}}$
\end_inset 

.
 Luego 
\begin_inset Formula $Ct_{1}\cup Ct_{2}\subset\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\oplus\overbrace{Ct_{2}}}$
\end_inset 

.
\layout Standard

Obviamente , la suma de fechados es también un fechado.
\layout Standard

El sucesor de un IT en la suma de dos CT's es el mínimo de los sucesores
 en cada uno y el predecesor es el máximo.
\layout Subsubsection

Operación Producto de CT's
\layout Standard

El 
\emph on 
producto maximal 
\emph default 
o simplemente producto de dos conjuntos temporales es el conjunto generado
 por la intersección de las sucesiones maximales de ambos
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Ct_{1}*Ct_{2}=\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\otimes\overbrace{Ct_{2}}}\end{equation}

\end_inset 

Dicho de otra forma: el maximal del producto de CT's es el producto disjunto
 de sus maximales.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\overbrace{Ct_{1}*Ct_{2}}=\overbrace{Ct_{1}}\otimes\overbrace{Ct_{2}}\end{equation}

\end_inset 

Es decir, los maximales de 
\begin_inset Formula $Ct_{1}*Ct_{2}$
\end_inset 

 son los maximales comunes a 
\begin_inset Formula $Ct_{1}$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $Ct_{2}$
\end_inset 

 y se puede asegurar que
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(Ct_{1}*Ct_{2}\right)=\min\left\{ granul\left(Ct_{1}\right),\: granul\left(Ct_{2}\right)\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard


\series bold 
\noun on 
Proposición:
\noun default 
 
\series default 
El producto de dos conjuntos temporales coincide con la intersección de
 ambos conjuntos
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Ct_{1}*Ct_{2}=Ct_{1}\cap Ct_{2}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard


\series bold 
\noun on 
Demostración:
\series default 
\noun default 
 Los elementos de 
\begin_inset Formula $\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\otimes\overbrace{Ct_{2}}}$
\end_inset 

 están incluidos en elementos que pertenecen a 
\begin_inset Formula $Ct_{1}$
\end_inset 

 y a 
\begin_inset Formula $Ct_{2}$
\end_inset 

 por lo que también pertenecen a uno y a otro, y se tiene que 
\begin_inset Formula $\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\otimes\overbrace{Ct_{2}}}\subset Ct_{1}\cap Ct_{2}$
\end_inset 

.
 Si 
\begin_inset Formula $it\in Ct_{1}\cap Ct_{2}$
\end_inset 

 entonces existe un 
\begin_inset Formula $it'$
\end_inset 

 que es elemento maximal de 
\begin_inset Formula $Ct_{1}\cap Ct_{2}$
\end_inset 

, o sea 
\begin_inset Formula $\exists it'\in\overbrace{Ct_{1}\cap Ct_{2}}\bot it\subset it'$
\end_inset 

.
 Luego 
\begin_inset Formula $it'$
\end_inset 

 pertenece a ambos conjuntos y no hay ningún otro elemento en ellos que
 lo contenga, por lo tanto es maximal en cada uno de ellos, es decir, 
\begin_inset Formula $it'\in\overbrace{Ct_{1}}\cap\overbrace{Ct_{2}}$
\end_inset 

=
\begin_inset Formula $\overbrace{Ct_{1}}\otimes\overbrace{Ct_{2}}$
\end_inset 

.
 Por lo tanto 
\begin_inset Formula $it\in\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\otimes\overbrace{Ct_{2}}}$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $Ct_{1}\cap Ct_{2}\subset\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\otimes\overbrace{Ct_{2}}}$
\end_inset 

.
\layout Standard

La granularidad del producto de CT's es obviamente la mínima de las granularidad
es de cada uno
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(Ct_{1}*Ct_{2}\right)=\min\left\{ granul\left(Ct_{1}\right),\: granul\left(Ct_{2}\right)\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El producto de fechados puede ser un fechado o no serlo.
\layout Standard

El sucesor de un IT en el producto de dos CT's es algo más complicado que
 el de la suma .
 Primero se calcula el sucesor en 
\begin_inset Formula $it'=it+Ct_{1}$
\end_inset 

.
 Si 
\begin_inset Formula $it'\in Ct_{2}$
\end_inset 

 ya está hecho.
 Si no, se calcula 
\begin_inset Formula $it''=it'+Ct_{2}$
\end_inset 

.
 Si 
\begin_inset Formula $it''\in Ct_{1}$
\end_inset 

 ya está hecho y si no se pone 
\begin_inset Formula $it\leftarrow it''$
\end_inset 

 y se continua calculando sucesores alternativamente en uno y otro conjunto
 hasta que se encuentre uno que pertenezca al otro conjunto o nos devuelva
 un IT impropio.
 De forma análoga se calcula el predecesor retrocediendo en cada uno de
 los CT's y haciendo las mismas comprobaciones en cada iteración.
\layout Standard

Este caracter recursivo da lugar a un ciclo infinito cuando el resultado
 de una intersección es vacío.
 Por ello se debe disponer de un mecanismo que analize simbólicamente las
 expresiones para evitar esa situación.
 En cualquier caso sería conveniente dar un mensaje de advertencia cuando
 se sobrepasara determinado número de iteraciones considerado como excesivo.
 También sería bueno para el ciclo y dar un mensaje de error a partir de
 un úmero máximo de iteraciones.
 Ambos límites deberían ser definibles por el usuario.
\layout Subsubsection

Operación Diferencia de CT's
\layout Standard

La 
\emph on 
diferencia maximal
\emph default 
, o simplemente diferencia de dos conjuntos temporales es el conjunto temporal
 generado por la diferencia disjunta de las sucesiones maximales de ambos
 conjuntos
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Ct_{1}\ominus Ct_{2}=\underbrace{\overbrace{Ct_{1}}\ominus\overbrace{Ct_{2}}}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Dicho de otra forma: el maximal de la diferencia de CT's es la diferencia
 disjunta de sus maximales.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\overbrace{Ct_{1}\ominus Ct_{2}}=\overbrace{Ct_{1}}\ominus\overbrace{Ct_{2}}\end{equation}

\end_inset 

Es decir, los maximales de 
\begin_inset Formula $Ct_{1}\ominus Ct_{2}$
\end_inset 

 son los maximales de 
\begin_inset Formula $Ct_{1}$
\end_inset 

 que no incluyen a los de 
\begin_inset Formula $Ct_{2}$
\end_inset 

.
 Por lo tanto sólo se puede asegurar que
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(Ct_{1}\ominus Ct_{2}\right)\geq granul\left(Ct_{1}\right)\end{equation}

\end_inset 

Se demuestra de forma trivial que la diferencia maximal no coincide con
 la diferencia usual de conjuntos
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Ct_{1}\ominus Ct_{2}\neq Ct_{1}-Ct_{2}=\left\{ it\in\mathfrak{C}_{6}|it\in Ct_{1}\wedge it\notin Ct_{2}\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Por ejemplo 
\begin_inset Formula $cDaily-cHourly$
\end_inset 

 contendría el IT y2005m1d1 pero no el y2005m1d1h1 que pertenece al interior
 del primero.
 Luego 
\begin_inset Formula $cDaily-cHourly$
\end_inset 

 no es un conjunto temporal mientras que 
\begin_inset Formula $cDaily\ominus cHourly$
\end_inset 

 sería el conjunto vacío pues cada IT maximal de 
\begin_inset Formula $cDaily$
\end_inset 

 contiene IT's maximales de 
\begin_inset Formula $cHourly$
\end_inset 

 y serían todos eliminados.
 
\layout Standard

Otro ejemplo: el conjunto 
\begin_inset Formula $cDaily\ominus cHour\left(8\right)=cHourly\ominus cHour\left(8\right)$
\end_inset 

 contendría todas las horas excepto la octava de cada día.
\layout Standard

La diferencia de fechados puede ser un fechado o no serlo.
\layout Standard

Para calcular el sucesor de un IT en la diferencia de fechados primero se
 calcula el sucesor en 
\begin_inset Formula $it'=it+Ct_{1}$
\end_inset 

.
 Si 
\begin_inset Formula $it'\notin Ct_{2}$
\end_inset 

 ya está hecho.
 Si no, se calcula 
\begin_inset Formula $it''=it'+Ct_{1}$
\end_inset 

.
 Si 
\begin_inset Formula $it''\notin Ct_{2}$
\end_inset 

 ya está hecho y si no, se continua calculando sucesores en 
\begin_inset Formula $Ct_{1}$
\end_inset 

 hasta que se encuentre uno que no esté en 
\begin_inset Formula $Ct_{2}$
\end_inset 

 o nos devuelva un IT impropio.
 De forma análoga se calcula el predecesor retrocediendo en 
\begin_inset Formula $Ct_{1}$
\end_inset 

 y haciendo las mismas comprobaciones en cada iteración.
 Considérese válido aquí todo lo referente a los ciclos infinitos explicado
 en el apartado anterior.
\layout Subsection

Operadores de Traslación en un Fechado
\layout Standard

Los operadores de traslación de conjuntos construyen un CT basándose en
 desplazar todos sus IT's a lo largo de un fechado.
\layout Subsubsection

Operación cSucc
\layout Standard

Se define el conjunto sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo de un conjunto 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

 en un fechado 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

, y se expresa 
\begin_inset Formula $cSuccInCT\left(Ct,n,F\right)$
\end_inset 

 ó 
\begin_inset Formula $Ct+n\times F$
\end_inset 

, como el conjunto temporal generado por la sucesión disjunta obtenida al
 aplicar el sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo en el fechado 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

 a todos los IT maximales de 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

, al que llamaremos conjunto de origen de la traslación.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\overbrace{Ct+n\times F}=\left\{ it\in F\:|\:\exists\, it'\in\overbrace{Ct}\,\wedge\, it=it'+n\times F\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

La granularidad del conjunto sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo es la mínima de las granularidades de 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

.
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(Ct+n\times F\right)=\min\left\{ granul\left(Ct\right),\: granul\left(F\right)\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El conjunto sucesor de un fechado en un fechado es también un fechado.
\layout Paragraph

Cálculo de la función de pertenencia a 
\begin_inset Formula $Ct+n\times F$
\end_inset 

 
\layout Standard

El método de cálculo será constructivo, es decir, se intentará encontrar
 el IT de 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

 cuyo sucesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo es el IT dado.
 Si se consigue se devuelve 
\emph on 
cierto
\emph default 
 y si no se consigue se devuelve 
\emph on 
falso.
 
\layout Standard

Sea 
\begin_inset Formula $it\in F$
\end_inset 

 y supongamos que 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
\end_inset 

, entonces llamamos
\layout Standard


\begin_inset  Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="2">
<features>
<column alignment="left" valignment="top" width="0">
<column alignment="left" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard


\begin_inset Formula $it'=it-\left(n-1\right)\times F$
\end_inset 


\end_inset 
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard

al predecesor 
\begin_inset Formula $\left(n-1\right)$
\end_inset 

-ésimo en 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

 de 
\begin_inset Formula $it$
\end_inset 


\end_inset 
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard


\begin_inset Formula $it''=it'-Ct\in Ct$
\end_inset 


\end_inset 
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard

al predecesor en 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

 de 
\begin_inset Formula $it'$
\end_inset 


\end_inset 
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard


\begin_inset Formula $it'''=it-n\times F=it'-F\in Ct$
\end_inset 


\end_inset 
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard

al predecesor 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-ésimo en 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

 de 
\begin_inset Formula $it$
\end_inset 


\end_inset 
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset 


\layout Standard

Entonces se se puede asegurar que
\begin_inset Formula \begin{equation}
it\in Ct+n\times F\Leftrightarrow it\in F\,\wedge it'''\leq it''\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para comprobarlo sólo hay que visualizar la secuencia temporal que forman
 los IT's definidos
\begin_inset Formula \begin{equation}
it'''=it-n\times F\leq it''<it'=it-\left(n-1\right)\times F<\cdots<it-F<it\end{equation}

\end_inset 

Salta a la vista que existe 
\begin_inset Formula $it''\in Ct$
\end_inset 

 tal que 
\begin_inset Formula $it''+n\times F=it$
\end_inset 

.
\layout Standard

Para 
\begin_inset Formula $Ct-n\times F$
\end_inset 

 con 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
\end_inset 

se puede desarrollar un argumento análogo al anterior definiendo 
\begin_inset Formula $it'=it+\left(n-1\right)\times F$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $it''=it'+Ct\in Ct$
\end_inset 

 para formar la secuencia
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
it'+F=it+n\times F>it''\leq it'=it+\left(n-1\right)\times F>\cdots>it+F>it\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Cuando 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset 

 se tiene 
\begin_inset Formula $Ct\pm0\times F=Ct*F$
\end_inset 

 y, en resumen, se puede asegurar que 
\begin_inset Formula $\forall\: n\in\mathbb{Z}$
\end_inset 

 se cumple que
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
it\in Ct+n\times F\Leftrightarrow it\in F\wedge\left\{ \begin{array}{cccccc}
n=0 & \wedge & it\in Ct &  &  & \vee\\
n\neq0 & \wedge & it'=it-n\times F\in Ct &  &  & \vee\\
n>0 & \wedge & \; it'\notin Ct & \wedge & it'-Ct>it'-F & \vee\\
n<0 & \wedge & \; it'\notin Ct & \wedge & it'+Ct<it'+F\end{array}\right.\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Cada llamada a la función de pertenencia a 
\begin_inset Formula $S=Ct+n\times F$
\end_inset 

 requiere un coste computacional que se puede expresar así.
 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
C\left(\in S\right)\leq C\left(\in F\right)+C\left(\in Ct\right)+C\left(\pm Ct\right)+C\left(\pm n\times F\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Paragraph

Cálculo del sucesor 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset 

-ésimo de un IT en 
\begin_inset Formula $Ct+n\times F$
\end_inset 

 
\layout Standard

En el apartado anterior se ha calculado el 
\begin_inset Formula $it''\in Ct$
\end_inset 

 tal que 
\begin_inset Formula $it''+n\times F=it$
\end_inset 

 dado un 
\begin_inset Formula $it\in F$
\end_inset 

.
 Si 
\begin_inset Formula $it\in F$
\end_inset 


\layout Standard

Pues bien, si calculamos 
\begin_inset Formula $\dot{it}=it''+Ct$
\end_inset 

 , es evidente que 
\begin_inset Formula $\dot{it}+n\times F\in Ct+n\times F$
\end_inset 

 y que 
\begin_inset Formula $\dot{it}+n\times F>it$
\end_inset 

 así como que no puede haber ningún otro elemento de 
\begin_inset Formula $Ct+n\times F$
\end_inset 

 situado entre 
\begin_inset Formula $it=it''+n\times F$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $\dot{it}+n\times F$
\end_inset 

 que ha de ser forzosamente el sucesor de 
\begin_inset Formula $it$
\end_inset 

 en 
\begin_inset Formula $Ct+n\times F$
\end_inset 

.
\layout Standard

Por lo tanto, para calcular el sucesor o el predecesor simple de un IT se
 tendrá en cuenta lo siguiente
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
it+\left(Ct+n\times F\right)=\left(it''+Ct\right)+n\times F\\
it+\left(Ct+n\times F\right)=\left(it''-Ct\right)+n\times F\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El coste computacional en este caso será
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
C\left(\pm S\right)\leq C\left(\in F\right)+C\left(\in Ct\right)+2\cdot C\left(\pm Ct\right)+C\left(\pm2\cdot n\times F\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Una vez calculado el primer sucesor o predecesor, los siguientes son simplemente
 sucesores o predecesores en en el fechado 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

 .
 Así pues, se tienen las siguientes fórmulas que reducen el cálculo del
 sucesor 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset 

-ésimo de un IT a una sola ejecución de la función sucesor seguida por el
 sucesor 
\begin_inset Formula $h-1$
\end_inset 

-ésimo en el fechado 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

 .
 Lo mismo ocurre si se quiere el predecesor 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset 

-ésimo 
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
it+h\times\left(Ct+n\times F\right)=\left(it+\left(Ct+n\times F\right)\right)+\left(h-1\right)\times F\;\forall h\in\mathbb{Z}^{+}\\
it-h\times\left(Ct+n\times F\right)=\left(it-\left(Ct+n\times F\right)\right)-\left(h-1\right)\times F\;\forall h\in\mathbb{Z}^{+}\end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El coste computacional total será
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
C\left(\pm h\times S\right)\leq C\left(\in F\right)+C\left(\in Ct\right)+2\cdot C\left(\pm Ct\right)+C\left(\pm\left(2\cdot n+h-1\right)\times F\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Operación cRange
\layout Standard

La operación rango de sucesores o cRange se basa en la anterior cSucc y
 se define como la unión de sucesores consecutivos en un rango de números
 enteros
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{l}
Ct+\left[n,m\right]\times F=cRangeInCT(Ct,\, n,\, m,\, F)\,=\,\cup_{j=n}^{m}\left(Ct+j\times F\right)\;\forall n\leq\, m\in\mathbb{Z}\\
Ct+\left[n,m\right]\times F\,=\,\left\{ it\in F|\exists j=n\ldots m,it'\in Ct\wedge it=it'+j\times F\right\} \end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard
\align center 
La granularidad del conjunto cRange es la mínima de las granularidades de
 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

.
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(cRangeInCT\left(Ct,n,F\right)\right)=\min\left\{ granul\left(Ct\right),\: granul\left(F\right)\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para no repetir los cálculos es conveniente implementar los métodos de pertenenc
ia y sucesión de forma explícita en lugar de recurrir a la suma de los cSucc.
 De esta forma se reaprovechan los cálculos de los sucesores consecutivos
 de forma recursiva
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
it'_{j}=it\pm j\times F=it'_{j-1}\pm F\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Como los 
\begin_inset Formula $Ct+n\times F$
\end_inset 

 se calculan de forma diferente según sea 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

 positiva, negativa o nula puede ser necesario separar 
\begin_inset Formula $Ct+\left[n,m\right]\times F$
\end_inset 

 de forma que se tengan bloques de rangos 
\begin_inset Formula $Ct+\left[n',m'\right]\times F$
\end_inset 

 todos positivos o todos negativos.
\layout Standard

El coste operacional de evaluar 
\begin_inset Formula $it\in RS=Ct+\left[n,m\right]\times F$
\end_inset 

 será
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
C\left(\in RS\right)\leq C\left(\in F\right)+L\cdot C\left(\in Ct\right)+C\left(\pm Ct\right)+C\left(\pm\left(M+1\right)\times F\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

donde 
\begin_inset Formula $L=m-n+1$
\end_inset 

 es la longitud del rango y 
\begin_inset Formula $M=\left\{ \left|m\right|+\left|n\right|\; si\: m\cdot n\leq0,\left|m-n\right|\; si\: m\cdot n=0\right\} $
\end_inset 

 
\layout Standard

El coste operacional de evaluar 
\begin_inset Formula $it+RS$
\end_inset 

 será
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
C\left(\pm RS\right)\leq C\left(\in F\right)+\left(L+1\right)\cdot C\left(\in Ct\right)+C\left(\pm Ct\right)+C\left(\pm\left(2\cdot M+1\right)\times F\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

El coste operacional de evaluar 
\begin_inset Formula $it+h\times RS$
\end_inset 

 será
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
Cost\left(\times RS\right)\leq Cost\left(\in F\right)+\left(L+1\right)\cdot Cost\left(\in Ct\right)+Cost\left(\pm Ct\right)+Cost\left(\pm\left(2\cdot M+h\right)\times F\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Operación cPeriodic
\layout Standard

La operación cPeriodic devuelve todos los IT cuya distancia en un fechado
 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 

 a un 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}\left(k,g\right)$
\end_inset 

 fijo sea múltiplo de una periodicidad 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset 

.
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Formula \begin{equation}
cPeriodicSucc(\mathcal{I}\left(k,g\right),\, p,\, F)\,=\,\left\{ it'\in F|\exists n\in\mathbb{Z}\:\bot\: it'=\mathcal{I}\left(k,g\right)+\left(p\cdot n\right)\times F\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Su granularidad es la mínima de las de 
\begin_inset Formula $it$
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset 


\begin_inset Formula \begin{equation}
cPeriodicSucc(it,\, p,\, F)=\min\left\{ granul\left(it\right),\: granul\left(F\right)\right\} \end{equation}

\end_inset 


\layout Subsection

Operadores de Auto-Traslación
\layout Standard

Los operadores de auto-traslación de conjuntos construyen un CT basándose
 en desplazar todos sus IT's maximales en su propia granularidad.
\layout Subsubsection

Operación cSelfSucc
\layout Standard

Se define el conjunto 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-autosucesor de un conjunto 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

, al que llamaremos conjunto de origen del desplazamiento, como el conjunto
 temporal generado por la sucesión disjunta resultante de desplazar los
 IT's maximales de 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

, un total de 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

 veces cada IT maximal en su propia granularidad.
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
cSelfSucc\left(Ct,n\right)=Ct+n=\left\{ \mathcal{I}\left(k,g\right)\in\mathfrak{C}_{6}|\mathcal{I}\left(k-n,g\right)\in Ct\right\} \end{equation}

\end_inset 

La granularidad del conjunto 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset 

-desplazado es obviamente la misma que la de 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

.
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(cSelfSucc\left(Ct,n\right)\right)=granul\left(Ct\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsubsection

Operación cSelfRange
\layout Standard

La operación rango de desplazamientos o cRangeMove se basa en la anterior
 cMove y se define como la unión de desplazamientos consecutivos en un rango
 de números enteros
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{l}
cRangeMove(Ct,\, n,\, m)\,=\,\bigcup_{k=n}^{m}Ct+k\;\forall n,\, m\in\mathbb{Z}\\
cRangeMove(Ct,\, n,\, m)\,=\,\left\{ \mathcal{I}\left(k,g\right)\in\mathfrak{C}_{6}|\exists j=n...m\bot\mathcal{I}\left(k-j,g\right)\in Ct\right\} \end{array}\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard
\align center 
La granularidad del conjunto cRange es evidentemente la de 
\begin_inset Formula $Ct$
\end_inset 

.
\begin_inset Formula \begin{equation}
granul\left(cMove\left(Ct,n\right)\right)=granul\left(Ct\right)\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsection

Operadores de Desplazamiento Granular
\layout Standard

Los operadores de desplazamineto de conjuntos construyen un CT basándose
 en desplazar todos sus IT's un número de unidades en una granularidad dada.
\layout Subsubsection

Operación cSuccInG
\layout Subsubsection

Operación cRangeInC
\the_end